I parallelogrammi

I parallelogrammi

I parallelogrammi sono poligoni formati da quattro lati che sono due a due paralleli tra loro. In questa categoria rientrano, oltre a quelli generici, anche i rettangoli, i rombi e i quadrati aventi ciascuno delle caratteristiche particolari.

I segmenti che hanno come estremi due vertici opposti vengono chiamati diagonali mentre il segmento che parte da un vertice e cade perpendicolarmente sul lato opposto o sul suo prolungamento viene chiamato altezza.

E’ come se due rette parallele tagliassero altre due parallele tra loro; in questo modo ciascuna retta sarebbe la trasversale delle altre due e gli angoli interni al poligono sarebbero coniugati interni.

Proprietà e teoremi dei parallelogrammi

In un parallelogramma i lati opposti sono congruenti, gli angoli opposti sono congruenti e le diagonali si tagliano a metà. Possiamo dimostrare questo teorema applicando il criterio di parallelismo.

Teorema del parallelogramma

Dopo avere disegnato in un foglio, quaderno o programma un parallelogramma, tracciamo una diagonale e costruiamo così due triangoli: ABC e BCD. Abbiamo già stabilito come ipotesi che i lati AC e BD sono paralleli. Pertanto, possiamo concludere che i due triangoli sono uguali per il secondo criterio di congruenza avendo:

  • Il lato BC in comune;
  • Gli angoli ABC e BCD congruenti perché sono alterni interni se consideriamo le rette passanti per AC e BD tagliate dalla trasversale che passa per BC;
  • Gli angoli ACB e CBD congruenti perché sono alterni interni se consideriamo le rette passanti per AB e CD tagliate dalla trasversale che passa per BC;

Pertanto i lati AC e BD sono uguali come anche i lati AB e CD, dimostrando così che i lati opposti di un parallelogramma sono congruenti. La stessa cosa vale anche per gli angoli opposto CAB e CDB che appartengono a due triangoli congruenti e sono dati dalla differenza tra 180 gradi e la somma di angoli congruenti.

A questo punto possiamo dimostrare la seconda e la terza proprietà del teorema tracciando l’altra diagonale che intersecherà la prima in un punto formando quattro triangoli.

Parallelogrammi, angoli opposti congruenti

Se consideriamo i triangoli AMC e BMD, ci rendiamo conto che sono uguali per il secondo criterio di congruenza avendo:

  • I lati AC e BD congruenti per la dimostrazione precedente;
  • Gli angoli CAM e BDM congruenti perché sono alterni alterni delle rette parallele AC e BD tagliate dalla trasversale AD;
  • Gli angoli ACM e MBD congruenti perché sono alterni alterni delle rette parallele AC e BD tagliate dalla trasversale BC;

Questo significa che i lati AM e MD sono congruenti come anche i lati CM e MB e che le diagonali dei parallelogrammi si tagliano a metà.

Con lo stesso metodo possiamo dimostrare che gli angoli MAB e MDC sono uguali come anche lo sono gli angoli MCD e ABM. Perciò gli angoli opposti dei parallelogrammi sono uguali perché sono la somma di angoli congruenti.

  • A = CAM + MAB;
  • D = BDM + MDC;
  • B = ABM + MBD;
  • C = ACM + MCD

Rettangoli, quadrati e rombi

I rettangoli, i quadrati e i rombi sono tutti dei parallelogrammi perché hanno i lati opposti paralleli tra loro. I loro nomi derivano da altre proprietà che hanno soltanto loro.

proprietà dei rettangoli e dei  rombi

La caratteristica dei rettangoli è che sono formati da quattro angoli retti. Questo fa sì che anche le diagonali siano uguali, essendo le ipotenuse di due triangoli rettangoli congruenti avendo in comune i due cateti e l’angolo retto.

I rombi sono quadrilateri che hanno tutti i lati congruenti e non soltanto quelli opposti. Le loro diagonali non si limitano a tagliarsi a metà perché ciascuna diagonale diventa la base di un triangolo isoscele i cui lati obliqui sono rappresentati dai lati del rombo. Pertanto l’altezza che parte dall’angolo al vertice e che è anche bisettrice e mediana di ciascun angolo è rappresentata dall’altra diagonale che taglia la prima a metà.

I quadrati sono sia rettangoli che rombi perché racchiudono entrambe le loro proprietà: hanno tutti e quattro gli angoli di 90° e tutti e quattro i lati congruenti e per questo motivo il quadrato viene definito poligono regolare, cioè un poligono che ha tutti i lati e tutti gli angoli congruenti.

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