Criterio di parallelismo e applicazione sui triangoli.

Criterio di parallelismo e applicazione sui triangoli.

Il criterio di parallelismo è un teorema secondo cui quando due rette vengono tagliate da una trasversale e formano con essa angoli alterni esterni oppure interni congruenti o angoli coniugati supplementari o angoli corrispondenti uguali, allora sono parallele.

Quando due rette vengono tagliate dalla stessa trasversale formano ciascuno otto angoli con la retta che le ha tagliate. Gli angoli vengono definiti interni, se sono comprese tra le due rette, oppure esterni. Inoltre, vengono definiti alterni se si trovano in posizioni opposte alla trasversale oppure coniugati quando si trovano sulla stessa parte. Gli angoli alterni e gli angoli coniugati devono essere entrambi esterni o interni. Gli angoli che si trovano nelle identiche posizioni rispetto alla propria retta e la trasversale sono chiamati corrispondenti.

Due rette sono parallele quando sono disegnate sullo stesso piano e non si toccano mai.

Dimostrazione del criterio di parallelismo

Se noi tagliamo due rette con una trasversale, si formeranno otto angoli.

Criterio di parallelismo
Il criterio di parallelismo

Come si vede in figura, possiamo suddividere gli otto angoli in:

  • Alterni interni: l’angolo 4 con il 6 e il 3 con il 5;
  • Alterni esterni: l’angolo 1 con l’8 e il 2 con il 7;
  • Corrispondenti: l’angolo 1 con il 5, il 4 con il 7, il 2 con il 6 e il 3 con l’8;
  • Coniugati interni: l’angolo 4 con il 5 e il 3 con il 6;
  • Coniugati esterni: l’angolo 1 con il 7 e il 2 con l’8.

Dato che le rette sono parallele, gli angoli che formano con la trasversale nelle rispettive posizioni sono uguali. Inoltre, gli angoli opposti al vertice di ciascuna retta sono anch’essi uguali e sono anche uguali al corrispettivo alterno perché è corrispondente all’angolo opposto al vertice.

In base all’immagine, l’angolo 4 è uguale al 6 perché è uguale al suo angolo opposto, il 2. L’angolo 4 è anche il supplementare di 1 dato che la loro somma dà un angolo di 180 gradi. Ma è anche il supplementare dell’angolo 5 perché quest’ultimo è uguale all’1.

Possiamo quindi formulare anche il teorema inverso al criterio di parallelismo e dire che se due rette parallele vengono tagliate da una trasversale, avranno gli angoli alterni esterni uguali, gli angoli alterni interni uguali, gli angoli corrispondenti uguali e gli angoli coniugati supplementari.

Applicazione del criterio di parallelismo

Servendoci del criterio di parallelismo possiamo dimostrare tre teorie sui triangoli:

  1. La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre di 180°

Prendiamo come esempio il triangolo ABC. Tracciamo una retta parallela a BC sul vertice A del triangolo.

Criterio di parallelismo | Somma degli angoli interni del triangolo

Come possiamo vedere l’angolo CAD sarà uguale a C mentre l’angolo BAE sarà uguale a B; questo a motivo del criterio di parallelismo.

Dato che CAD + A + BAE = 180°, risulta che C + A + B =180°

2. In un triangolo, l’angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti ad esso.

Prendendo in considerazione il triangolo ABC prolunghiamo il lato CB.

Angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti
Angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti

In questo caso è facile giungere alla conclusione. Dato che ABD + B è uguale a 180 gradi, l’angolo ABD è uguale per forza ad A + C.

3. La somma degli angoli esterni di un triangolo è di 2π, cioè 360°

Prendiamo di nuovo come esempio il triangolo ABC. In questo caso prolunghiamo i suoi tre lati

La somma degli angoli esterni di un triangolo è sempre di 360 gradi
La somma degli angoli esterni di un triangolo è sempre di 360 gradi

Come vediamo in figura la somma del nuovo angolo che si forma e l’angolo interno del triangolo è sempre di 180°

La somma totale degli angoli risulta essere di 540 gradi (180° x 3). Sottraendogli la somma degli angoli interni avremo 360°.

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