Gli angoli opposti al vertice sono due angoli che hanno l’origine in comune e che si trovano uno di fronte all’altro. Essendo composte anche dalle stesse rette questi due angoli sono uguali.
Un angolo è sempre una parte del piano delimitata da due semirette che hanno l’origine, detto vertice, in comune. Quando due semirette si incontrano in un punto queste formano due angoli:
- Quello compreso tra le due semirette, i suoi lati, viene chiamato convesso.
- L’altro angolo che sommato a quello iniziale forma un angolo giro viene chiamato concavo.
Due angoli opposti al vertice, però sono entrambi convessi perché sono formati entrambi da due semirette reali che hanno il vertice in comune i quali coincidono con i prolungamenti dei lati dell’altro angolo.
Teorema degli angoli opposti al vertice
Un teorema dice che gli angoli opposti al vertice sono congruenti, cioè uguali. Nei paragrafi successivi vedremo che questo teorema è sempre vero.
Costruiamo innanzitutto i due angoli. Per farlo basterà disegnare due rette incidenti. Segniamo poi i due angoli e li chiamiamo α e β; aggiungiamo poi l’angolo γ che uno di quelli compresi tra loro.
Per dimostrare il teorema iniziamo a fare dei ragionamenti basati su ciò che già sappiamo:
- α e γ hanno un lato che giace sulla stessa semiretta. Pertanto la loro somma è di 180°, un angolo piatto:
- α + γ =180°;
- α = 180° – γ;
- Anche β e γ hanno un lato ciascuno che giace sulla stessa semiretta e che sono opposti. Quindi anche la loro somma è di 180°:
- β + γ =180°;
- β = 180° – γ;
Dato che due angoli opposti al vertice equivalgono alla differenza degli stessi angoli sono congruenti. Inoltre, sono entrambi supplementari dello stesso angolo, cioè la loro somma con questo angolo dà sempre 180 gradi.