Il triangolo isoscele

Il triangolo isoscele

Il triangolo isoscele è un poligono formato da tre lati e tre angoli, di cui due lati sono congruenti. Questo significa che anche gli angoli adiacenti il terzo lato sono congruenti.

Questo tipo di triangolo ha dei nomi particolari per i suoi elementi. I lati tra loro congruenti, cioè uguali, sono chiamati lati obliqui mentre il terzo lato viene chiamato base del triangolo e, in genere, viene rappresentato in basso per dare subito l’idea visiva di questo triangolo. Gli angoli adiacenti questo lato sono chiamati angoli alla base mentre quello compreso tra i lati congruenti viene chiamato angolo al centro.

Teorema del triangolo isoscele

Il teorema del triangolo isoscele dice che questo tipo di triangolo ha sempre gli angoli alla base congruenti.

dimostrazione teorema triangolo isoscele

Per dimostrare questo teorema bisogna tracciare la bisettrice dell’angolo al vertice verso la base costruendo così due triangoli rettangoli congruenti per il primo criterio di congruenza avendo:

  • Le due ipotenuse uguali perché sono anche i lati obliqui del triangolo isoscele;
  • La stessa altezza rappresentata dalla bisettrice
  • Una coppia di angoli congruenti essendo ciascuno la metà dell’angolo al vertice

Da questa dimostrazione deduciamo un altro teorema il quale dice che la bisettrice di un triangolo isoscele è sia altezza relativa alla base che mediana perché divide la base in due parti uguali e perché cade in maniera perpendicolare ad essa.

Teorema inverso

Possiamo affermare anche il teorema inverso secondo cui un triangolo che ha gli angoli alla base uguali è isoscele. In questo caso dobbiamo costruire e tracciare le bisettrici degli angoli alla base verso il loro lato opposto e considerare i vari triangoli venuti a formare. Possiamo farlo servendoci del goniometro e del compasso. Avendo stabilito per ipotesi che gli angoli alla base sono uguali, dobbiamo dimostrare che lo siano anche i lati obliqui

teorema inverso dimostrazione 1
Dobbiamo dimostrare che AC = BC sapendo che l’angolo A è uguale all’angolo B

Notiamo innanzitutto che abbiamo costruito due triangoli congruenti per il secondo criterio di congruenza avendo:

  • Il lato AC in comune;
  • L’angolo A e l’angolo B uguali per ipotesi
  • Gli angoli BAS e ABT uguali perché sono la metà di angoli congruenti.

Questo significa che anche i lati AS e BT e gli angoli ATB e ASB sono congruenti e questo ci permette di dimostrare il teorema inverso. Consideriamo adesso i triangoli ASC e BTC e notiamo che anche loro due sono congruenti tra loro avendo:

  • I lati AS e BT uguali;
  • Gli angoli BTC e ASC uguali perché sono i supplementari degli angoli ATB e ASB che sono anche congruenti;
  • Gli angoli CAS e CBT uguali perché sono la metà degli angoli alla base.

Pertanto i lati obliqui AC e BC che appartengono a due triangoli congruenti sono uguali. Viene espresso così il seguente teorema secondo cui gli angoli alla base una condizione necessaria e sufficiente per affermare che un triangolo sia isoscele.

Può essere utile anche disegnare a parte le coppie di triangoli che si stanno considerando evidenziando gli elementi che hanno in comune.

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