Quadrato

Il quadrato è una figura geometrica formata da quattro lati aventi la stessa lunghezza e la stessa inclinazione a coppie e da quattro angoli ampi 90 gradi. Per queste sue caratteristiche è una delle figure più facili da risolvere in geometria e in altre materie scientifiche.

Il quadrato è sia un rettangolo che un rombo: sia tratta di un loro sottoinsieme caratterizzato da tutti i quadrilateri con i lati paralleli a due a due e che hanno tutti la stessa lunghezza. Questo significa che ha in se tutti i teoremi e proprietà degli insiemi principali tra cui le diagonali che si tagliano a metà e che sono perpendicolari tra loro e bisettrici degli angoli interni al poligono.

Caratteristiche e formule del quadrato

L'immagine mostra un quadrato con gli elementi principali
Come mostra la figura, possiamo risolvere i problemi sui quadrati applicando le formule dei triangoli rettangoli.

In un quadrato, la base che l’altezza hanno la stessa lunghezza; pertanto ai loro segmenti viene dato lo stesso nome: l. Tracciando una diagonale, dividiamo il quadrato in due triangoli rettangoli congruenti per il terzo criterio avendo in comune la diagonale come ipotenusa e la misura del lato del quadrato come cateti. Possiamo ricavare la formula per calcolare la misura della diagonale e notare che è uguale al prodotto tra un lato e la radice di 2.

d = √(l2 + l2) = √(2l2) = l2

Per ricavare questa formula, abbiamo applicato diverse regole di algebra. Abbiamo considerato l come un monomio, e la somma di due monomi simili, che hanno la stessa parte letterale, è uguale alla somma dei loro coefficienti numerici: in questo caso 1 è sottinteso. Poi abbiamo applicato la radice di una potenza, che è uguale ad un’altra potenza che ha come base il radicando, il numero all’interno della radice, e come esponente il rapporto tra l’esponente del radicando e l’indice della radice. In questo caso, abbiamo una radice quadrata e l’indice 2 viene sottinteso; la radice di l2 è l mentre la radice di 2 è un numero decimale che non finisce mai e viene rappresentato semplicemente scrivendo 2.

Possiamo ricavare la formula inversa per calcolare la lunghezza del lato di un quadrato conoscendo la misura della diagonale, applicando il secondo principio di equivalenza. Otteniamo così che la misura di un lato è uguale al rapporto tra la lunghezza della diagonale e la radice di 2.

d = l2

d/√2 = l -> l = d/√2

Per quanto riguarda l’area e il perimetro di un quadrato, sappiamo dallo studio del rettangolo che la superficie è uguale al prodotto tra la base e l’altezza, perciò il lato moltiplicato per un altro lato mentre il perimetro è uguale alla somma dei quattro lati. Semplificando, possiamo dire che l’area di un quadrato è uguale al quadrato del suo lato mentre il perimetro è uguale a quattro volte la misura del suo lato.

A = l2

P = 4l

Possiamo ricavare queste grandezze anche conoscendo soltanto la misura della diagonale, come mostrano le seguenti formule.

A = l2 = (d/√2)2 = d2/2

P = 4l = 4 (d/√2) = 4d/√2

Riassumendo, l’area di un quadrato è uguale al quadrato della misura del suo lato oppure alla metà del quadrato della misura della sua diagonale. Il perimetro è uguale a quattro volte il lato del quadrato oppure a quattro volte il rapporto tra la diagonale e la radice di 2.

Esercizi

Prova a risolvere questi esercizi sui quadrati:

  • Trova le misure delle diagonali, dell’area e del perimetro di alcuni quadrati il cui lato è uguale a:
    • 2 cm
    • 10 cm
    • 2
    • 4
  • Calcola gli elementi incogniti di un quadrato la cui diagonale misura 2.
  • In un piano cartesiano, due punti hanno come coordinate x rispettivamente 3 e 7. Calcola tutti gli elementi del quadrato che ha come lato la distanza di questi due punti.
    • Ci sono diversi modi per risolvere questo esercizio. Uno è quello di ricavare la lunghezza del lato e poi tutti gli altri elementi come si fa in geometria. Un altro modo è quello di provare a ricavare ed applicare le formule del quadrato relative il piano cartesiano.