Il piano cartesiano

Il piano cartesiano

Il piano cartesiano è un sistema di riferimento utilizzato per conoscere la posizione e la distanza dei punti al suo interno. È formato da due assi perpendicolari tra loro, uno con direzione orizzontale mentre l’altro con direzione verticale. In ciascun asse viene indicato un segmento di riferimento usato come unità di misura. In questo modo, si possono stabilire delle coordinate per i punti del piano e calcolare esattamente la distanza tra di loro.

In questo articolo vediamo gli elementi principali del piano cartesiano, in che modo si determina la posizione dei punti interessati, come si calcola la lunghezza dei segmenti formati da questi punti e come viene utilizzato per rappresentare dei grafici.

Caratteristiche del piano cartesiano

L’asse orizzontale viene chiamato asse delle ascisse e viene anche indicato con la lettera X mentre quello verticale viene chiamato asse delle ordinate e indicato con la lettera Y. Ogni punto ha quindi due coordinate: la coordinata x, che indica la sua distanza dall’asse delle ordinate e in quale punto si trova la sua proiezione rispetto la linea dei numeri sopra l’asse X, e la coordinata y, che indica la sua distanza dall’asse delle ascisse e in quale punto si trova la sua proiezione nell’asse Y.

L'immagine mostra un piano cartesiano, con i suoi assi e come si ricavano le coordinate di un punto

Il punto di incontro tra i due assi cartesiani viene chiamato origine, viene indicato con la lettera O e ha coordinate x = 0 e y = 0. I due assi dividono il piano cartesiano in quattro angoli retti: l’insieme di punti che appartengono a ciascun angolo retto viene chiamato quadrante.

I quadranti vengono nominati utilizzando la numerazione romana: I, II, III e IV. Di norma, vengono numerati partendo dall’angolo in altro a destra e procedendo in senso antiorario. Questo cambia in topografia, in quanto l’ordine parte sempre dal quadrante in alto a destra ma si procede in senso orario. Per saperne di più leggi questo articolo che parla dell’angolo orientato.

Dato un punto P del piano bisogna indicare le sue coordinate xp e yp. Un altro modo per indicare le coordinate di un punto è quello di scrivere il suo nome e inserire le sue coordinate tra parentesi: P(xp;yp).

I punti nel piano cartesiano

Avendo determinato la posizione dei punti all’interno di un piano cartesiano è possibile conoscere la lunghezza dei loro segmenti in maniera accurata. Un sistema cartesiano è un sistema di riferimento locale dove stabiliamo noi la posizione del punto 0 in modo di essere in grado di determinare la posizione di tutti gli altri punti.

Le geometria analitica combina le formule tradizionali per calcolare gli elementi delle figure piane con le conoscenze dell’algebra. Vediamo alcuni esempi:

Per calcolare la distanza tra due punti è necessario riportarli sul piano cartesiano, stabilire le loro coordinate e trovare il punto di intersezione tra le due perpendicolari che passano per quei punti. L’immagine sotto mostra un esempio:

Illustrazione che mostra come si calcola la distanza tra due punti qualsiasi in un piano cartesiano

Abbiamo costruito un triangolo rettangolo i cui cateti sono uguali rispettivamente alla differenza delle ascisse e a quella delle ordinate dei due punti. Per il teorema di Pitagora, l’ipotenusa che equivale alla distanza dei due punti è:

AB = √[(AC)2+(BC)2]

Se ai due cateti sostituiamo le formule algebriche, ricaveremo la formula per trovare la distanza tra quei punti:

AB = √[(xBxA)2+(yByA)2]

Vedi anche: Le coordinate polari e La distanza tra due punti

Se i due punti hanno lo stesso valore rispetto all’asse x oppure all’asse y, per misurare la loro distanza basterà calcolare la differenza tra i valori che sono diversi.

Il grafico di una funzione

Il piano cartesiano viene utilizzato anche per rappresentare il grafico di una funzione, cioè l’insieme delle coordinate di ciascuna coppia di valori di tale funzione.

Una funzione è un’uguaglianza che mostra la correlazione che c’è tra due insiemi. Ad esempio dicendo che l’area di un quadrato è uguale al quadrato del suo lato noi stiamo mettendo in relazione l’insieme delle aree di tutti i quadrati e quello che abbraccia le diverse lunghezze di tutti i quadrati. In simboli si scrive: A=l2. Uno delle due variabili viene inserito nell’asse delle ascisse mentre l’altro in quello delle ordinate, per comodità nell’asse y vengono inseriti i valori del membro a sinistra dell’equazione: y=x2. In questo caso si parla di proporzionalità quadratica e il suo grafico sarà rappresentato da una parabola.

L'immagine mostra il grafico di una proporzionalità quadratica nel piano cartesiano
Grafico della funzione y=x2

Vedi anche: La proporzionalità diretta e La proporzionalità inversa

Le rette nel piano cartesiano

E’ possibile determinare le coordinate di tutti i punti di una retta che passa per il piano cartesiano conoscendo almeno le coordinate x e y di due punti di tale retta. In una retta, il rapporto tra le coordinate cartesiane è sempre costante, non varia, e indica la sua pendenza. Questo rapporto tra l’ordinata e l’ascissa di un punto, indicato con la lettera m, viene chiamato coefficiente angolare. Partendo da questa formula, si ricava l’equazione della retta passante per l’origine, cioè quella che attraversa il punto di incontro degli assi cartesiani.

L'immagine mostra come si ricava l'equazione di una retta che passa per l'origine di un piano cartesiano.

Ovviamente, sul piano cartesiano passano infinite rette e la maggior parte non attraversano l’origine. Per calcolare l’ordinata esatta dei punti di una di queste rette si usa come riferimento la rispettiva parallela passante per l’origine. Perciò oltre a trovare il prodotto tra il coefficiente angolare e l’ascissa di tale punto, il risultato ottenuto viene sommato alla distanza verticale che ci deve essere tra il punto della retta interessata e il punto della parallela all’origine. Questo nuovo elemento viene indicato con la lettera q e viene chiamato ordinata all’origine. Scriviamo così l’equazione generale della retta che passa in un piano cartesiano:

y = m ∙ x + q

rette nel piano cartesiano

Sistema cartesiano principale e secondario

In topografia e nei rilievi topografici, capita di inserire un piano cartesiano più piccolo all’interno di quello principale e per questo definito secondario. Questo è utile in quanto, per rilevare la posizione dei punti in un’area geografica, un terreno o durante un rilievo si utilizza anche un altro sistema di riferimento, chiamato polare.

L'immagine mostra la relazione tra le coordinate polari e cartesiani

In questo caso, ci si avvale delle formule trigonometriche del triangolo rettangolo per ricavare le coordinate dei punti interessati e la lunghezza dei lati che essi formano. Per comodità, si fa coincidere l’origine degli assi cartesiani del sistema secondario con quello del sistema polare che rappresenta anche il punto dove viene posizionato lo strumento per fare il rilevamento dei punti che ci interessano. Conoscendo le coordinate del punto di origine del sistema secondario e le coordinate parziali dei punti da rilevare basterà sommare l’ascissa parziale con quella del nuovo origine e l’ordinata parziale allo stesso modo per ricavare le coordinate totali dei punti rilevati.

L'immagine mostra come viene costruito un piano cartesiano secondario

Vedi anche: Il rilievo topografico

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