Le formule del triangolo rettangolo

Le formule del triangolo rettangolo permettono di calcolare il valore degli elementi di un triangolo formato da un angolo di 90 gradi, conoscendo soltanto la misura di due lati oppure la misura di un lato e di un angolo. Ci sono modi diversi per ricavare gli elementi incogniti di un triangolo e alcuni sono essenziali da conoscere per risolvere problemi più complessi relativi ad altri tipi di triangoli.

Un triangolo rettangolo è un poligono formato da tre lati e che ha sempre un angolo interno di 90°. Le sue caratteristiche rendono molto facile fare i dovuti calcoli per ricavare gli elementi che non conosciamo sia perché equivale alla metà di un rettangolo sia perché abbiamo sempre un elemento conosciuto, l’angolo retto.

I due lati che formano l’angolo di 90 gradi vengono chiamati cateti mentre il lato obliquo che congiunge gli altri due loro vertici viene chiamata ipotenusa.

Teorema di Pitagora

Possiamo ricavare la misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo conoscendo il valore della lunghezza dei cateti oppure ricavare la lunghezza di un cateto conoscendo la misura dell’ipotenusa e dell’altro cateto. Facendo la somma somma di tutti e tre i lati del triangolo calcoliamo il valore del suo perimetro:

• p = a + b + c

In base al teorema di Pitagora, sappiamo che il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Se assegniamo la lettera a all’ipotenusa e le lettere b e c ai due cateti, abbiamo le seguenti formule del triangolo rettangolo:

• a² = b² + c²;
  • a = √(b² + c²)
• b² = a² – c²;
  • b = √(a² – c²);
• c² = a² – b²;
  • c = √(a² – b²);

Le formule inverse per calcolare la lunghezza dei due cateti e la radice quadrata di ciascun lato si ricavano applicando i principi di equivalenza.

Conoscendo i valori della lunghezza dei due cateti, i quali corrispondono alla base e all’altezza del triangolo rettangolo, è possibile ricavare l’area del triangolo che equivale alla metà del loro prodotto:

• A = (b ∙ c) / 2

Inoltre, sappiamo che la somma degli angoli interni dei triangoli è sempre di 180 gradi. Perciò, conoscendo l’ampiezza di un altro angolo oltre a quello di 90 gradi possiamo ricavare il valore dell’altro angolo.

Formule goniometriche del triangolo rettangolo

Le formule goniometriche dei triangoli rettangoli vengono usati specialmente in topografia e in fisica ma sono molto utili per ricavare gli elementi incogniti sia su questo tipo di triangoli ma anche su ogni tipo di triangolo.

Queste formule derivano dallo studio delle funzioni goniometriche ricavate dalla costruzione della circonferenza goniometrica. Se costruiamo su un piano di assi cartesiani una circonferenza che ha il centro sull’origine degli assi e il raggio uguale a 1, l’unità di misura è indifferente, siamo in grado di costruire su di essa qualsiasi triangolo rettangolo stabilendo soltanto l’ampiezza dell’angolo formato tra l’asse verticale e il raggio. Per fare un disegno pulito ci si può servire delle squadrette e del compasso.

I cateti del triangolo rettangolo hanno dei valori che dipendono unicamente dall’ampiezza dell’angolo. Il rapporto tra il cateto opposto all’angolo considerato e l’ipotenusa viene chiamato seno mentre il rapporto tra l’angolo adiacente e l’ipotenusa viene chiamato coseno.

Tutti i triangoli che hanno angoli uguali sono chiamati simili e una loro proprietà è che il rapporto tra i loro lati è sempre uguale. Questo significa che anche se abbiamo triangoli rettangoli la cui lunghezza dei lati è diversa da quello costruito sul cerchio goniometrico avranno sempre lo stesso valore del seno e del coseno per lo stesso tipo di angolo.

Seguono le formule goniometriche dei triangoli rettangoli e quelle inverse ricavate applicando il secondo principio di equivalenza:

• sen α = cateto opposto / ipotenusa
  • cateto opposto = sen α ∙ ipotenusa
• cos α = cateto adiacente / ipotenusa
  • cateto adiacente / cos α ∙ ipotenusa
• α = arcsen (cateto opposto / ipotenusa)
• α = arccosen (cateto adiacente / ipotenusa)

Anche se non si conosce la lunghezza dell’ipotenusa è possibile risolvere i problemi dei triangoli rettangoli grazie alle formule della tangente e della cotangente di un angolo che sono rispettivamente uguali al rapporto tra il suo cateto opposto e quello adiacente e viceversa:

• tg α = cateto opposto / cateto adiacente;
  • cateto opposto = tg α ∙ cateto adiacente;
  • cateto adiacente = cateto opposto / tg α
• cotg α = cateto adiacente / cateto opposto;
  • cateto adiacente = cotg α ∙ cateto opposto;
  • cateto opposto = cateto adiacente / cotg α
• α = arctg (cateto opposto / cateto adiacente)

L’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente sono le funzioni inverse di quelle goniometriche e servono a ricavare l’ampiezza di un angolo dopo avere ricavato il valore del seno oppure del coseno. Quindi, conoscendo la lunghezza di tutti i lati del triangolo rettangolo è possibile ricavare l’ampiezza dei due angoli.

Quanto detto vale anche per l’altro angolo perché basterebbe capovolgere e ruotare il triangolo in modo che il vertice dell’altro angolo coincida con l’origine degli assi e varrebbe tutto quello scritto sopra.

Riguardando l’immagine sopra il cateto opposto ad α è BC mentre quello opposto all’angolo OBC è il cateto OC. Invece, il cateto adiacente ad α è OC mentre quello adiacente all’angolo OBC è il cateto BC. Bisogna tenere conto di quali sono i cateti opposti e adiacenti di ciascun angolo per ricavare le giuste formule del triangolo rettangolo.

Si possono calcolare il valore delle funzioni goniometriche mediante una calcolatrice scientifica premendo sui pulsanti sin, cos e tan prima o dopo avere digitato l’ampiezza dell’angolo. Le funzioni arcoseno e arcocoseno sono indicate nella calcolatrice con le scritte sin^-1 e cos^-1 e tan^-1 e si attivano dopo avere premuto sul pulsante shift oppure sul pulsante 2ndF in alcuni modelli. Dopo averlo fatto, i pulsanti sin, cos e tan funzioneranno riportando l’ampiezza dell’angolo prima o dopo avere digitato il valore della funzione goniometrica.

Queste formule dei triangoli rettangoli vengono usati anche per ricavare gli elementi incogniti di qualsiasi tipo di triangolo. Per saperne di più, si consiglia di leggere l’articolo sul teorema dei seni e quello relativo al teorema del coseno.