Il teorema dei seni

Il teorema dei seni

Il teorema dei seni è una delle regole che ci permettono di risolvere i problemi sui triangoli quando se ne conoscono soltanto tre elementi, di cui uno è un angolo, e ci dice che il rapporto tra ciascun lato di un triangolo con il seno dell’angolo opposto è costante ed è uguale al diametro della circonferenza in cui è iscritto.

Per capire e dimostrare questo teorema è necessario sapere i vari teoremi relativi agli angoli alla circonferenza e agli angoli al centro, conoscere le funzioni goniometriche, sapere costruire una circonferenza che tocca tutti i lati di un triangolo.

Dimostrazione del teorema dei seni

Dopo avere costruito un triangolo qualsiasi inscritto in una circonferenza, tracciamo una segmento che partendo da uno dei vertici del triangolo, passi sul centro della circonferenza e che abbia come secondo estremo il punto di intersezione con la circonferenza. Congiungiamo questo punto con gli altri due vertici del triangolo.

teorema dei seni dimostrazione

Il segmento che tocca il vertice dell’angolo e arriva fino alla circonferenza corrisponde al suo diametro, il doppio del raggio. Dato che il suo angolo al centro è di 180 gradi, gli angoli formati congiungendo il secondo estremo con gli altri vertici del triangolo sono di 90 gradi, essendo angoli alla circonferenza che partono dal diametro. Abbiamo costruito due triangoli rettangoli.

Consideriamo il triangolo di sopra ABD:

  • Gli angoli alla circonferenza che partono dallo stesso arco o dalla stessa corda sono uguali;
    • L’angolo BDA è uguale all’angolo γ (BCD) perché sono angoli alla circonferenza con corda AB
  • Sappiamo che la misura di un cateto è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto: AB = AD ∙ sen BDA
    • AB = 2R ∙ sen γ
    • AB / sen γ = 2R

Consideriamo adesso anche il triangolo ACD:

  • L’angolo ADC è uguale all’angolo β (ABC) perché sono angoli alla circonferenza aventi come corda il lato AC;
  • AC = AD ∙ sen ADC;
    • AC = 2R ∙ sen β
    • AC / sen β = 2R

La stessa cosa si può verificare costruendo un altro diametro partendo da un altro vertice del triangolo. Perciò abbiamo verificato il teorema dei seni, secondo cui il rapporto tra ciascun lato di un triangolo con il seno dell’angolo opposto è sempre uguale ed equivale al diametro della circonferenza circoscritta.

Applicando la proprietà sulle proporzioni relative al permutamento dei medi, otteniamo un’altra definizione del teorema dei seni come anche le sue formule inverse e possiamo affermare che il rapporto tra due lati del triangolo è uguale al rapporto tra i valori del seno dei loro angoli opposti.

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