I principi di equivalenza

I principi di equivalenza

I principi di equivalenza sono dei criteri che ci permettono di risolvere un’equazione e di ricavare le formule inverse come nel caso dei problemi di geometria e di fisica.

Un’equazione viene definita come un’uguaglianza di due espressioni. Può contenere sia numeri naturali che, come spesso accade, numeri e lettere. Un’equazione è vera quando viene dimostrata l’uguaglianza tra le due espressioni. Un semplice esempio:

6 : 2 + 1 = 2 ∙ 2

3 + 1 = 4

4 = 4

L’equazione 6 : 2 + 1 = 2 ∙ 2 è quindi vera perché risolvendola abbiamo 4 = 4. Vediamo adesso i due principi di equivalenza.

Il primo principio di equivalenza dice che se ad entrambi i membri di un’equazione aggiungiamo o togliamo uno stesso numero o una stessa quantità l’uguaglianza rimane vera. Vediamo un esempio:

3 + 1 = 4

3 + 1 – 1 = 4 – 1

3 = 3

Questo principio ci permette di ricavare le formule inverse nel caso di addizioni e sottrazioni. Facciamo un esempio tratto dall’estimo. Il valore finale di un capitale investito è uguale alla somma di quello iniziale e dell’interesse. Ma se vogliamo ricavare il valore iniziale da quello finale dobbiamo applicare il primo principio di equivalenza.

Cf = C0 + I

Cf – I = C0 + I – I

C0 = Cf – I

Prova adesso a ricavare la formula per calcolare l’interesse conoscendo il valore iniziale e finale del capitale.

Il secondo principio di equivalenza dice che se ad entrambi i membri di un’equazione moltiplichiamo o dividiamo una stessa quantità diversa da 0, l’uguaglianza rimane vera.

5 ∙ 3 = 15

5 ∙ 3 : 3 = 15 : 3

5 = 5

Questo principio ci permette di ricavare le formule inverse che hanno a che fare con le moltiplicazioni e le divisioni. Proviamo a ricavare la formula per calcolare l’altezza di un rettangolo.

Secondo principio di equivalenza

Lo scopo di questi passaggi è quello di lasciare h da solo dividendo entrambi i membri per b.

I principi di equivalenza possono anche essere utilizzati insieme quando in un’equazione ci sono sia addizioni che moltiplicazioni. Ad esempio, l’area di un trapezio è uguale al semiprodotto della somma delle due basi per l’altezza. Stabilendo che B sta per la base maggiore, b per la base minore, h è l’altezza, ricaviamo la formula per calcolare quanto misura la base maggiore conoscendo tutti gli altri dati.

Prima di tutto moltiplichiamo entrambi i membri per 2 ed eliminiamo la frazione al secondo membro.

Secondo principio di equivalenza

Ripetiamo il secondo principio di equivalenza per eliminare h al secondo membro e lasciare soltanto la somma.

Adesso applichiamo il primo principio di equivalenza e ricaviamo B. Non è necessario scrivere tutti i passaggi. A scuola, per comodità, ci viene insegnato che quando un termine passa da un membro all’altro, se si tratta di somma algebrica, basta cambiarlo di segno mentre, in caso di una frazione, se è al numeratore passa al denominatore e viceversa. E’ un modo per semplificare i passaggi dei principi di equivalenza.

Formula inversa principi di equivalenza