Il teorema del coseno

Il teorema del coseno è una delle regole che ci permettono di calcolare gli elementi di un triangolo qualsiasi avendo a disposizione soltanto tre elementi e dice che il quadrato di un lato del triangolo equivale alla differenza tra la somma dei quadrati degli altri due lati e il loro doppio prodotto con il coseno dell’angolo compreso tra di essi.

Inoltre, lo stesso teorema afferma che il coseno di un angolo è uguale al rapporto tra la somma dei quadrati dei lati che lo contengono meno il quadrato del lato opposto con il doppio prodotto dei suoi lati adiacenti. Pertanto, ci è utile anche per ricavare gli angoli di un triangolo conoscendo soltanto la lunghezza di tutti i suoi lati, come stabilito anche dal terzo criterio di congruenza.

Dimostrazione del teorema del coseno

Disegniamo un triangolo generico e tracciamo l’altezza relativa ad uno dei suoi lati. Abbiamo costruito due triangoli rettangoli e possiamo applicare ciò che sappiamo sulle funzioni goniometriche per ricavare il valore dell’altezza. Partiamo dal presupposto che conosciamo il valore di due lati e l’angolo compreso tra loro: b, c e α

Studiando questo argomento, si può notare che il seno di un angolo è sempre uguale al rapporto tra il suo cateto opposto e l’ipotenusa del triangolo di cui fa parte mentre il coseno è uguale al rapporto tra il suo cateto adiacente e l’ipotenusa. Applicando il secondo criterio di equivalenza possiamo ricavare l’altezza del triangolo relativo al suo lato.

Dato che nella figura sopra vogliamo ricavare l’altezza CH, l’angolo che ci interessa è α. Dalla definizione sopra scriviamo che sen α = CH / b e da questa formula ricaviamo quella per calcolare l’altezza: CH = b ∙ sen α.

Procedendo allo stesso modo, possiamo ricavare la lunghezza dell’altro cateto, AH, che sarà uguale al prodotto tra l’ipotenusa e il coseno dell’angolo adiacente: CH = b ∙ cos α.

Se consideriamo il triangolo HBC, è facile ricavare l’ipotenusa. Infatti, per il teorema di Pitagora, il suo quadrato è uguale alla somma dei quadrati dei cateti:

• a² = CH² + HB²
  • CH = b ∙ sen α
  • HB = c – AH = c – b ∙ cos α

La formula può essere riscritta così: a² = (b ∙ sen α)² + (c – b ∙ cos α)².

Al secondo termine dell’equazione abbiamo una semplice potenza alla seconda e un quadrato di binomio. Sviluppandole ci permette di semplificare la formula:

• a² = b² ∙ sen² α + c² + b² ∙ cos² α – 2bc cos α

Da questa equazione possiamo applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione su due membri del secondo termine ed estrapolare b².

• a² = b² (sen² α + cos² α) + c² – 2bc cos α

Sappiamo che il seno e il coseno di un angolo sono anche i lati del triangolo rettangolo costruito sulla circonferenza goniometrica di raggio 1 che corrisponde anche all’ipotenusa del triangolo. Pertanto la somma dei quadrati del seno e del coseno è uguale a 1.

• a² = b² + c² – 2bc cos α

Abbiamo così dimostrato il teorema del coseno. Se abbiamo noti due lati di un triangolo e l’angolo compreso tra loro, basterà applicare questo teorema per ricavare la lunghezza del terzo triangolo.

• a = √(b² + c² – 2bc cos α)

Applicando i principi di equivalenza possiamo ricavare il coseno di un angolo conoscendo soltanto la misura dei tre lati del triangolo.

• – a² = – b² – c² + 2bc cos α
  • (- a² + b² + c²) / 2bc = cos α
  • cos α = (b² + c² – a²) / 2bc
  • α = cos^-1 [(b² + c² – a²) / 2bc]

Per ricavare i valori del coseno di un angolo si può utilizzare una calcolatrice scientifica. Basta premere il pulsante cos prima o dopo avere scritto l’ampiezza dell’angolo. Un angolo di 180 gradi ha come valore del coseno -1. Basta fare la prova con la propria calcolatrice per capire qual è il metodo corretto per ricavare questa funzione.