Il teorema del coseno è una delle regole che ci permettono di calcolare gli elementi di un triangolo qualsiasi avendo a disposizione soltanto tre elementi.
Questo teorema è molto utile e fondamentale, in quanto ci permette, assieme al teorema dei seni, di risolvere qualunque problema relativo ai triangoli rettangoli. Ad esempio possiamo calcolare il modulo del vettore somma nel caso in cui il triangolo formato dai due vettori principali non è un triangolo rettangolo. Ma anche quando si progettano delle costruzioni è importante sapere operare con questi teoremi.
Definizione e formule del teorema del coseno
Il teorema del coseno afferma che ciascun lato di un triangolo è uguale alla differenza tra:
- La somma dei quadrati degli altri due lati;
- Il doppio prodotto degli altri due lati con il coseno dell’angolo compreso tra essi
Inoltre, possiamo ricavare il coseno di un angolo calcolando il rapporto tra:
- La somma dei quadrati dei lati adiacenti e sottraendo il quadrato del lato opposto;
- Il doppio prodotto dei lati adiacenti
Infine, possiamo ricavare l’angolo del triangolo grazie al coseno trovato applicando la formula goniometrica inversa tramite una calcolatrice scientifica.
Dimostrazione del teorema del coseno
Disegniamo un triangolo generico e tracciamo l’altezza relativa ad uno dei suoi lati. Abbiamo costruito due triangoli rettangoli e possiamo applicare ciò che sappiamo sulle funzioni goniometriche per ricavare il valore dell’altezza. Partiamo dal presupposto che conosciamo il valore di due lati e l’angolo compreso tra loro: b, c e α
Studiando questo argomento, si può notare che il seno di un angolo è sempre uguale al rapporto tra il suo cateto opposto e l’ipotenusa del triangolo di cui fa parte mentre il coseno è uguale al rapporto tra il suo cateto adiacente e l’ipotenusa. Applicando il secondo criterio di equivalenza possiamo ricavare l’altezza del triangolo relativo al suo lato.
Dato che nella figura sopra vogliamo ricavare l’altezza CH, l’angolo che ci interessa è α. Dalla definizione sopra scriviamo che sen α = CH / b e da questa formula ricaviamo quella per calcolare l’altezza: CH = b ∙ sen α.
Procedendo allo stesso modo, possiamo ricavare la lunghezza dell’altro cateto, AH, che sarà uguale al prodotto tra l’ipotenusa e il coseno dell’angolo adiacente: AH = b ∙ cos α. Perciò il lato HB sarà uguale alla differenza tra tutto il lato del triangolo principale e la parte rimante AH.
Se consideriamo il triangolo HBC, è facile ricavare l’ipotenusa. Infatti, per il teorema di Pitagora, il suo quadrato è uguale alla somma dei quadrati dei cateti:
- a2 = CH2 + HB2 = (b ∙ sen α)2 + (c – b ∙ cos α)2
Al secondo termine dell’equazione abbiamo una semplice potenza alla seconda e un quadrato di binomio, con un lato come primo monomio e il prodotto tra l’altro lato e il coseno dell’angolo come secondo monomio. Sviluppandole ci permette di semplificare la formula:
- a2 = b2 ∙ sen2 α + c2 + b2 ∙ cos2 α – 2bc cos α
Da questa equazione possiamo applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione su due membri del secondo termine ed estrapolare b2.
- a2 = b2 (sen2 α + cos2 α) + c2 – 2bc cos α
Sappiamo che il seno e il coseno di un angolo sono anche i lati del triangolo rettangolo costruito sulla circonferenza goniometrica di raggio 1 che corrisponde anche all’ipotenusa del triangolo. Pertanto la somma dei quadrati del seno e del coseno è uguale a 1.
- a2 = b2 + c2 – 2bc cos α
Abbiamo così dimostrato il teorema del coseno. Se abbiamo noti due lati di un triangolo e l’angolo compreso tra loro, basterà applicare questo teorema per ricavare la lunghezza del terzo triangolo.
- a = √(b2 + c2 – 2bc cos α)
Applicando i principi di equivalenza possiamo ricavare il coseno di un angolo conoscendo soltanto la misura dei tre lati del triangolo.
Per ricavare i valori del coseno di un angolo si può utilizzare una calcolatrice scientifica. Basta premere il pulsante cos prima o dopo avere scritto l’ampiezza dell’angolo. Un angolo di 180 gradi ha come valore del coseno -1. Basta fare la prova con la propria calcolatrice per capire qual è il metodo corretto per ricavare questa funzione.