Il quadrato di un binomio è uno dei prodotti notevoli dei polinomi. Consiste nell’elevare al quadrato un polinomio, in altre parole nel moltiplicare una volta sola un polinomio per se stesso.
Quando moltiplichiamo un numero o una lettera per se stessa una o più volte diciamo che lo stiamo elevando ad una potenza. Alcuni esempi di potenze sono 23 (due alla terza o al cubo), 154 (quindici elevato alla quarta o semplicemente quindici alla quarta) oppure a2 (a al quadrato).
Traducendo le potenze in moltiplicazioni scriveremo:
23 = 2 ∙ 2 ∙ 2;
154 = 15 ∙ 15 ∙ 15 ∙ 15;
a2 = a ∙ a
Un polinomio consiste nella somma e nella differenza tra una o più termini dove figurano numeri soli, lettere sole o numeri e lettere legate da moltiplicazioni. Ad esempio, 2a è una moltiplicazione tra 2 e a dove però il segno viene lasciato sottinteso.
A seconda di quanti termini ci sono, il polinomio può avere dei nomi specifici. Il binomio è un polinomio composto soltanto da due termini. Quando, quindi, parliamo di quadrato di un binomio stiamo dicendo che lo stiamo moltiplicando per se stesso.
Come si risolve il quadrato di un binomio
Consideriamo una formula generica dove A e B sono i termini del binomio:
(A + B)2 = (A + B)(A + B)
Prima di continuare specifichiamo che spesso il segno della moltiplicazione viene sottintesa anche quando si chiude una parentesi e se ne apre un’altra. Ma come si fa la moltiplicazione tra due polinomi? Applicando più volte la proprietà distributiva della moltiplicazione, cioè distribuendo ciascun termine del primo polinomio su quelli del secondo:
(A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B2
Precisiamo che AB e BA indicano la stessa cosa perché possiamo applicare semplicemente la proprietà commutativa della moltiplicazione. Possiamo quindi scriverli allo stesso modo. Inoltre, quando due termini del polinomio hanno la stessa parte letterale, si dicono simili ed è possibile sommare le loro parti numeriche, chiamate coefficienti. In questo caso 1 è sottinteso in tutte le lettere
(A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + AB + B2 = A2 + 2AB + B2
Possiamo notare il risultato finale e definire che il quadrato di un binomio è uguale alla somma tra il quadrato del primo termine, il doppio prodotto del primo termine per il secondo e il quadrato del secondo termine. Questa definizione e regola vale sempre e ci permette di semplificare varie espressioni.
