La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre costante, e misura 180 gradi, la quale corrisponde all’ampiezza di un angolo piatto, indipendentemente dalla misura dei suoi lati e dall’ampiezza dei suoi angoli. Nel sistema centesimale misura 200c mentre in radianti risulta pi greco, π, un numero irrazionale composto da cifre decimali infinite e disposte senza un preciso ordine e che viene approssimato a 3,14592.
Un triangolo è una figura geometrica formata da tre lati e tre angoli. I lati sono i tre segmenti che lo delimitano mentre gli angoli interni sono quelli formati dall’unione dei suoi lati.
E’ possibile dimostrare questo teorema grazie al criterio di parallelismo, secondo cui due rette parallele tagliate da una trasversale formano con essa coppie di angoli alterni uguali, interni ed esterni, coppie di angoli coniugati supplementari e coppie di angoli corrispondenti uguali. Conoscere questo teorema ci permette di calcolare l’ampiezza degli angoli interni di un triangolo conoscendo il valore anche soltanto di un angolo oppure conoscendo la relazione che c’è tra loro.
Dimostrazione sulla somma degli angoli interni di un triangolo
Per dimostrare che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180 gradi, dobbiamo tracciare una retta parallela a uno dei lati di un triangolo qualsiasi nel suo vertice opposto e considerare gli angoli formati tra i suoi lati e la retta parallela. In questo modo i due lati diventano delle trasversali che tagliano il lato in comune e la sua parallela, formando coppie di angoli alterni interni.
Se disegniamo un triangolo qualsiasi e su uno dei suoi vertici tracciamo la retta parallela al suo angolo opposto, noteremo che gli angoli interni del triangolo sono alterni interni con quello formato dalla relativa trasversale e quindi della stessa ampiezza. Dato che la somma dei due angoli formati sulla parallela e il terzo angolo interno del triangolo è di 180°, anche la somma di questo angolo con gli altri due angoli interni del triangolo sarà di 180°.
Dimostrazione con ipotesi e tesi
Prendiamo come esempio il triangolo ABC nella figura. Tracciamo una retta parallela ad AB dove si trova il vertice C.
Come possiamo vedere l’angolo ECA sarà uguale ad A perché sono alterni interni mentre l’angolo BCD sarà uguale a B per lo stesso motivo; questo per il criterio di parallelismo.
Dato che ECA + C + BCD = 180°, risulta che A + C + B =180°
Abbiamo quindi dimostrato che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo è di 180°.
Esercizi
- Quanto misurano gli angoli interni di un triangolo rettangolo?
- Quanto misura il terzo angolo di un triangolo sapendo che gli altri due misurano 35° e 65°?
- Calcola la misura degli angoli interni di un triangolo sapendo che il primo è il doppio del secondo e che il terzo supera il primo di 36°.
Per risolvere alcuni esercizi può essere utile sapere risolvere le equazioni oppure i sistemi lineari. Un certo tipo di esercizio può essere risolto in più di un modo.