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I sistemi lineari di equazioni a due o più incognite

I sistemi lineari sono un insieme di due o più equazioni lineari, dove gli elementi incogniti, di solito due, sono tutti di primo grado. Per poterli risolvere è necessario portarli alla forma normale, dove figurano soltanto gli elementi incogniti una sola volta sotto forma di monomi e un termine noto e per le quali cerchiamo una coppia di valori che rendano vere entrambe le equazioni contemporaneamente. L’esempio generico di sistema di equazioni lineari a due incognite è:

sistema lineare ridotto in forma normale

Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni algebriche o letterali. Può avere una o più incognite: nel secondo caso, i valori numerici che possono sostituire le incognite sono infinite. Quando mettiamo insieme due o più equazioni stiamo cercando quella coppia di valori che rende vere entrambe le equazioni.

Un sistema di equazione viene denominato a seconda del tipo di equazioni al suo interno. Di solito, si parla di sistemi lineari perché sono formate da equazioni di primo grado. Quando due sistemi con equazioni diverse hanno le stesse soluzioni sono definite equivalenti. Possiamo ottenere un sistema equivalente a quello dato quando applichiamo i principi di equivalenza alle sue equazioni. In questo modo possiamo ottenere delle equazioni più semplici che ci permettono di ricavare formule per risolvere problemi più difficili, come mostra il metodo di Cramer descritto sotto. Ecco perché spesso per risolvere espressioni molto complesse si hanno delle formule più ridotte.

Un sistema può anche essere definito determinato quando le soluzioni non sono infinite, indeterminato quando ha infinite soluzioni e impossibile se non ha soluzioni. Un sistema con equazioni lineari che hanno gli stessi coefficienti nelle incognite e diversi termini noti è impossibile da risolvere mentre un sistema con due equazioni equivalenti è indeterminato dato che le coppie di valori in comune sono infinite.

Sistema lineare impossibile e indeterminato

Dato che le equazioni lineari vengono rappresentate nel piano cartesiano sotto forma di rette, la soluzione del sistema è quella coppia di valori che determinano il punto di intersezione tra le rette formate dalle rispettive equazioni.

Nel caso di sistema impossibile, le rette non si toccheranno mai e saranno parallele; se il sistema è determinato, le rette si toccheranno in un solo punto mentre nel caso di un sistema indeterminato le rette si sovrapporranno perché le due equazioni hanno gli stessi valori. Vediamo adesso come risolvere i sistemi lineari.

Risolvere i sistemi lineari

Per risolvere i sistemi di equazioni lineari possiamo applicare diversi metodi esposti di seguito. Quando in un sistema ci sono tre incognite, il procedimento per la risoluzione è la stessa ma con più passaggi.

Metodo di sostituzione

Il metodo di sostituzione consiste nel ricavare una delle incognite su un’equazione e sostituire la formula trovata alla relativa incognita nell’altra equazione.

metodo di sostituzione sistema lineare

Metodo del confronto

Il metodo del confronto consiste nel ricavare la stessa incognita in entrambe le equazioni del sistema lineare e uguagliare i due risultati al posto di una delle due equazioni per ricavare l’altra incognita.

metodo del confronto per risolvere i sistemi di equazioni lineari

Metodo di riduzione

Il metodo di riduzione si basa sul relativo principio secondo cui aggiungendo o sottraendo membro a membro le equazioni di un sistema e sostituendo l’equazione ottenuta ad una delle due si otterrà un sistema equivalente. E’ utile quando una delle due incognite ha valori opposti nelle due equazioni; in questo modo facendone la somma eliminiamo una incognita e ci basta ricavare l’altra.

metodo di riduzione per risolvere i sistemi di equazioni lineari

Anche nel caso che non ci sono incognite opposte in un sistema, è possibile utilizzare il metodo di riduzione. Applicando i principi di equivalenza possiamo ottenere due nuove equazioni che hanno una delle incognite opposta all’altra e poi ricaviamo la nuova equazione. Possiamo applicarlo anche più volte.

secondo principio di equivalenza su sistemi di equazioni lineari

Dopo avere ottenuto un sistema equivalente con un’incognita che ha i coefficienti opposti nelle due equazioni procediamo con la somma:

metodo di riduzione esercizio

Sistemi lineari e metodo di Cramer

Il metodo di Cramer permette di calcolare immediatamente i valori di due incognite quando nel sistema ci sono due equazioni lineari ridotti in forma normale, cioè composti soltanto da un valore per ciascuna incognita e un solo termine noto. Per la dimostrazione di questo metodo vedi la pubblicazione disponibile su Amazon Kindle.

sistema lineare ridotto in forma normale

Secondo questo metodo, la prima incognita (di solito indicata con x) è uguale al rapporto tra la differenza del prodotto del coefficiente del secondo membro della prima equazione con il termine noto della seconda equazione e il prodotto del coefficiente del secondo membro della prima equazione con il termine noto della prima e la differenza tra il prodotto del coefficiente del primo membro della prima equazione con quello del secondo membro della seconda e il prodotto tra il coefficiente del primo membro della seconda equazione con quello del secondo membro della prima.

metodo di cramer formula 2

La seconda incognita (di solito indicata con y) è uguale al rapporto tra la differenza del prodotto del coefficiente del primo membro della prima equazione con il termine noto della seconda equazione e il prodotto del coefficiente del primo membro della seconda equazione con il termine noto della prima equazione e la differenza tra il prodotto del coefficiente del primo membro della prima equazione con quello del secondo membro della seconda e il prodotto tra il coefficiente del primo membro della seconda equazione con quello del secondo membro della prima.

metodo cramer formula 1

Possiamo semplificare il metodo di Cramer chiamando determinante la differenza tra il prodotto dei coefficienti delle due incognite come mostrato sopra: D = ab’ – a’b. La determinante della prima incognita è uguale alla differenza tra il prodotto del primo coefficiente della seconda incognita con il secondo termine noto e il prodotto tra il secondo coefficiente con il primo termine noto: Dx = b’c – bc’. Per cui, la determinante della seconda incognita è uguale alla differenza tra il prodotto del primo coefficiente della prima incognita con il secondo termine noto e il prodotto tra il secondo coefficiente con il primo termine noto: Dy = ac’ – a’c. A questo punto le formule diventano:

Formule per calcolare i determinanti e risolvere i sistemi lineari

Come si può notare se il risultato della sottrazione al denominatore, cioè il dominante, risultasse 0 il sistema risulterà impossibile qualora uno degli altri dominanti è diverso da 0 oppure indeterminato nel caso in cui tutti i dominanti siano uguali a 0.

Proviamo a risolvere il sistema che abbiamo visto prima: { (x + y = 5; 2x – y = 2).

Ricaviamo le tre determinanti riportando i coefficienti e i termini noto all’interno di alcune tabelle:

Regola di Cramer, esempio ed esercizio