La retta passante per l’origine

La retta passante per l’origine è una retta che passa per il punto di incontro degli assi del piano cartesiano e che ha coordinate 0. Può avere pendenze diverse e viene usata come riferimento per tutte le altre rette; può essere ricavate punto per punto mediante un’equazione lineare che indica la relazione che c’è tra le sue coordinate. Dall’origine degli assi possono passare infinite rette con ampiezze diverse.

Si utilizza il piano cartesiano come sistema di riferimento per stabilire la corretta posizione di tutti i punti che si trovano al suo interno. E’ formato da due rette perpendicolari tra loro, uno che ha direzione orizzontale e chiamato asse delle ascisse, e un altro con direzione verticale e chiamato asse delle ordinate. Questi, incontrandosi, dividono il piano in quattro parti uguali ciascuno con ampiezza di 90 gradi chiamati quadranti. L’asse delle ascisse viene indicato con la lettera x mentre quella delle ordinate con la lettera y.

Conoscendo la posizione degli estremi di un segmento, è possibile utilizzare le loro coordinate, la distanza di ciascun punto dall’asse y e dall’asse x, per calcolare la lunghezza di tale segmento. Nel caso in cui i due punti poggiano entrambi su uno dei due assi cartesiani oppure il segmento che formano è parallelo ad uno di loro, è sufficiente calcolare la differenza tra il valore maggiore e quello minore della coordinata dell’altro asse. La differenza va sempre scritta senza segno, anche nel caso in cui la sottrazione dà come risultato un numero negativo.

Nel caso in cui il segmento che formano i due punti non sia parallelo ad uno dei due assi, si costruisce un triangolo rettangolo i cui cateti sono formati dai due estremi del segmento con il punto di incontro delle rette parallele agli assi cartesiani passanti per tali estremi. Basterà, perciò, ricorrere al Teorema di Pitagora per calcolare la lunghezza di questo segmento.

Cos’è l’equazione della retta che passa per l’origine

La retta passante per l’origine, sua equazione e angoli formati con l’asse delle ascisse a seconda del valore del coefficiente angolare.

Una retta è formata da infiniti punti che si susseguono tra di loro. Perciò, per determinare la pendenza di tale retta, la quale rappresenta anche l’angolo formato dalla retta con l’asse delle ascisse, dobbiamo ricavare le coordinate cartesiane di almeno due punti di tale retta. Il rapporto della coordinata x con la coordinata y di ogni punto è sempre costante e ha un valore fisso, indicando la pendenza della retta.

Questa costante viene chiamata coefficiente di angolarità e rappresentata dalla lettera m. Riassumendo ciò che abbiamo detto in termini algebrici m = y/x, cioè il rapporto tra l’ordinata di un punto e la sua ascissa. Da questa formula possiamo ricavare il valore dell’ordinata di un punto conoscendo il valore della sua ascissa. Possiamo fare questo tramite il secondo principio di equivalenza moltiplicando entrambi i membri per x, in modo che al secondo membro numeratore e denominatore si annullino a vicenda. Poi invertiamo i membri, in modo che il termine da ricavare sia dalla parte a sinistra, per comodità.

L'immagine mostra come si ricava l'equazione di una retta che passa per l'origine

La formula ricavata alla fine rappresenta l’equazione di una retta passante per l’origine, mostra la variazione di y rispetto alla variazione di x, ci permette di ricavare le coordinate di qualsiasi punto di questa retta e di rappresentarla nel piano cartesiano.

Per capire meglio questo concetto, possiamo utilizzare Geogebra, ottimo programma online per imparare e insegnare la matematica. Clicchiamo su Geogebra Classico e si aprirà il programma per la geometria. In alto troviamo dei pulsanti: clicchiamo su a=2 e poi su slider e lo posizioniamo in uno degli angoli del piano di lavoro. Chiamiamo la variabile m, invece di a, e stabiliamo un valore minimo e uno massimo che può avere questa variabile, e inseriamo 1 nel campo dell’incremento. Infine, clicchiamo su OK.

L'immagine mostra come inserire il coefficiente angolare su Geogebra

Nella colonna a sinistra, accanto al simbolo +, inseriamo l’equazione della retta che passa per l’origine: y = mx. Possiamo modificare il valore del coefficiente angolare manualmente, oppure cliccare sul tasto Play, indicato con il simbolo del triangolo con vertice a destra, per fare partire l’animazione. Noteremo che la retta passante per l’origine formerà con l’asse x un angolo ottuso ogni volta che m avrà valore negativo, un angolo acuto quando il valore è positivo e che si sovrapporrà all’asse dell’ascisse quando m = 0. Nel caso in cui il coefficiente angolare è uguale a 1, l’equazione della retta diventa y = 1x, cioè y = x.

Dato che ciascun punto di questa retta ha uguale valore per tutte e due le coordinate, taglierà il quadrante in due parti uguali e formerà due angoli di 45°, la metà di un angolo retto.