Gli assi cartesiani

Gli assi cartesiani

Gli assi cartesiani sono due rette che intersecandosi tra loro formano quattro angoli di 90 gradi e che costituiscono le basi del piano cartesiano. Uno di questi assi ha direzione orizzontale e viene chiamato asse delle ascisse mentre l’altro è un asse verticale e viene chiamato asse delle ordinate.

Il piano cartesiano è un sistema di riferimento utilizzato per determinare la posizione dei punti del piano e calcolare la lunghezza dei segmenti che formano. In ciascun asse viene disegnata una linea graduata con unità di misura stabilita in modo da determinare quanto dista ciascun punto dai due assi cartesiani.

Ogni punto del piano ha una coordinata x, indicata nell’asse delle ascisse e che rappresenta la sua distanza dall’asse delle ordinate, e una coordinata y, indicata nella linea graduata sull’asse delle ordinate e che rappresenta la sua distanza dall’asse delle ascisse.

Il punto di incontro tra i due assi cartesiani viene chiamato origine, è indicato con la lettera O e ha coordinate x = 0 e y = 0. Le due rette dividono il piano in quattro quadranti, numerati usando le lettere romane e ordinati, di solito, in senso antiorario.

L'immagine mostra gli assi cartesiani, le linee graduate e l'ordine dei quadranti.
L'asse delle ascisse viene indicato con la lettera x e ha direzione orizzontale mentre quello delle ordinate ha direzione verticale e viene rappresentato dalla lettera y.
L’immagine mostra gli assi cartesiani, le linee graduate e l’ordine dei quadranti.
L’asse delle ascisse viene indicato con la lettera x e ha direzione orizzontale mentre quello delle ordinate ha direzione verticale e viene rappresentato dalla lettera y.

Anche sui due assi passano due rette: quella passante per l’asse delle ascisse è formata da infiniti punti che hanno y = 0 mentre quella che passa per l’asse delle ordinate è formata dai punti che hanno come coordinata x il valore 0.

Tutte le rette che intersecano il punto di incontro degli assi cartesiani vengono chiamate rette passanti per l’origine e l’unica differenza tra ognuno di loro sta nella pendenza, nell’ampiezza dell’angolo che formano con l’asse x.

Distanza tra due punti nel piano cartesiano

Conoscendo le coordinata cartesiane di due punti, è possibile calcolare la lunghezza del segmento che essi formano o la distanza tra questi due punti. E’ sufficiente riportarli sul piano e tracciare le perpendicolare agli assi cartesiani che passano per questi due punti.

Illustrazione che mostra come si calcola la distanza tra due punti qualsiasi in un piano cartesiano

Dall’unione tra queste due rette possiamo ricavare i cateti di un triangolo rettangolo che ha come ipotenusa la distanza tra i due punti. Per ricavare la lunghezza del cateto parallelo all’asse x basterà calcolare la differenza tra l’ascissa del punto di intersezione delle due perpendicolari e quella del punto con cui forma la parallela, senza considerare il segno del risultato. La stessa cosa si fa per calcolare la lunghezza del cateto parallelo all’asse y, ricavando il valore assoluto della differenza tra l’ordinata del punto di intersezione e del secondo punto.

Da qui ricaviamo la formula: AB = √[(xBxA)2+(yByA)2], che serve a calcolare la distanza tra i due punti interessati. E’ chiaro che se i due punti hanno lo stesso valore in x o in y, basterà semplicemente calcolare il valore assoluto della differenza tra i valori diversi dell’altro asse cartesiano, come abbiamo fatto per la lunghezza dei cateti.

Origine degli assi cartesiani

Il punto di incontro tra l’asse delle ascisse e quello delle ordinate viene chiamato origine del piano cartesiano e ha come coordinate x = 0 e y = 0. Le rette che passano per questo punto vengono chiamate passanti per l’origine e la loro pendenza viene rappresentata dal coefficiente angolare, indicato con la lettera m, che si ricava facendo il rapporto tra il valore dell’ordinata e quello dell’ascissa di uno dei suoi punti che non sia l’origine. Per questo motivo, per trovare le coordinata dei punti di una retta basta utilizzare la seguente equazione:

y = m ∙ x

Per ricavare le coordinate cartesiane dei punti di una retta che non passa per l’origine è sufficiente aggiungere al prodotto ottenuto nella prima formula la distanza verticale tra i suoi punti e quelli della sua parallela, la retta che ha la stessa pendenza e con cui non si incontra mai, passante per l’origine. Questa distanza viene indicata con la lettera q.

y = m ∙ x + q

L'immaigne mostra una retta passante per l'origine degli assi cartesiani e una sua parallela che dista ad una certa distanza. Per ricavare l'ordinata dei punti di quest'ultima si somma il prodotto tra l'ascissa dei punti e il coefficiente angolare con la sua ordinata all'origine.

Coordinate parziali e totali nel piano cartesiano

Quando si fanno dei rilievi, spesso si costruisce un piano cartesiano sul punto in cui viene usato lo strumento per rilevare i punti di un edificio, di un terreno, un luogo da studiare. In questo modo, risulta immediato fare i calcoli per ricavare le coordinate parziali di quei punti e la lunghezza dei segmenti che essi formano. Per fare ciò, ci si avvale anche del sistema polare che utilizza le formule goniometriche dei triangoli rettangoli per calcolare la lunghezza di questi segmenti.

Vedi anche: Le coordinate polari

L'immagine mostra come viene costruito un sistema di assi cartesiani secondario e come si ricavano le coordinate dei punti.

Dopo avere calcolato le coordinate parziali dei punti sugli assi cartesiani secondari, basterà sommare a questi dati le coordinate dell’origine del sistema secondario rispetto a quello principale. Nell’immagine sopra l’origine del nuovo piano cartesiano viene indicato con la lettera A che ha come coordinate rispetto al piano principale x = 3 e y = 4. Aggiungendo questi valori alla ascissa e all’ordinata parziale del punto B, si possono ricavare le coordinate totali di questo punto.

Esercizi sugli assi cartesiani

  • In un piano cartesiano ci sono i punti A(2;3), B(2;7) e C(5;7). Calcola la distanza tra ciascuno di loro.
  • Rappresenta sul piano cartesiano una retta passante per l’origine che ha come coefficiente angolare 1,2 e la sua parallela che dista da essa di 2 unità.
  • E’ stato costruito un sistema cartesiano secondario nella posizione dove è stato usato un strumento di rilevamento topografico. La distanza tra il punto interessato rispetto all’origine è di 5m e l’angolo formato tra l’asse verticale e il punto è di 30°. Calcola le coordinate parziali e totali di tale punto, sapendo che l’origine degli assi secondari ha come coordinate x = 5 e y = 6.
/ 5
Grazie per aver votato!