Le coordinate polari

Le coordinate polari

Le coordinate polari sono un modo semplice per indicare la posizione di un punto nel piano e rappresentano la sua distanza e l’angolo di direzione rispetto ad un sistema di riferimento già stabilito.

Questo sistema di riferimento è costituito da un punto di origine chiamato polo, e da un asse verticale orientato che parte da esso e chiamato asse polare. Per indicare la posizione di un punto si indica la sua distanza dal polo, chiamata anche raggio vettore o modulo, e l’angolo formato dall’asse polare e la distanza. Questo angolo di direzione viene chiamato azimut ed è orientato in senso orario.

distanza e azimut

Questo sistema viene molto usato in topografia perché è utile determinare subito la posizione di un punto rispetto alla nostra posizione quando usiamo gli strumenti di rilevamento. Successivamente si fa in modo di ricavare anche le coordinate cartesiane per indicare la posizione esatta.

Il vantaggio di usare le coordinate polari è dovuto anche al fatto che è possibile utilizzare le formule goniometriche: infatti, la distanza e l’azimut di un punto possono essere considerate come l’ipotenusa e l’angolo adiacente ad essa di un triangolo rettangolo.

Trasformazione di coordinate polari a cartesiane

Se facciamo combaciare l’origine del sistema di riferimento polare con l’origine del sistema degli assi cartesiani, possiamo facilmente ricavare le coordinate cartesiane (x,y) partendo da quelle polari. La distanza viene indicata allo stesso modo dei segmenti: si inseriscono i nomi dei due estremi con una linea sopra di essi. Gli angoli di direzione, gli azimut, vengono nominati inserendo sempre i nomi degli estremi della distanza mettendoli tra parentesi.

coordinate polari e cartesiani

Come abbiamo visto, possiamo considerare le coordinate polari come gli elementi di un triangolo rettangolo. L’ascissa del punto, la coordinata X dell’asse orizzontale, si ricava con moltiplicando la distanza del punto per il seno dell’angolo azimutale mentre la coordinata Y si ricava moltiplicando tale distanza per il coseno dell’azimut.

In parole semplici stiamo utilizzando le formule trigonometriche del triangolo rettangolo. Nelle formule seguenti viene usata la lettera P per indicare un punto generico.

  • Xp = OP ∙ sen (OP);
  • Yp = OP ∙ cos (OP)

La distanza di un punto dal polo viene sempre considerata di segno positivo. In questo modo, la coordinata dipenderà dal segno della funzione goniometrica utilizzata nella formula e il punto risulterà nella posizione corretta.

Ad esempio, se l’azimut di un punto è ampio 200° significa che esso si trova nel III quadrante del sistema cartesiano. Perciò, il valore di X e quello di Y del punto saranno entrambi negativi come anche il segno delle funzioni di seno e coseno.

Trasformazione inversa

E’ possibile anche passare dalle coordinate cartesiane di un punto a quelle polari mediante le formule inverse di seno e coseno come anche la funzione inversa della tangente.

Tornando all’immagine sopra, se il punto in questione si trova nel I quadrante è facile ricavare l’ampiezza del suo angolo. Infatti il rapporto il suo cateto opposto e quello adiacente è uguale alla tangente di tale angolo. Basterà quindi usare la funzione inversa:

  • (OP) = arctang (Xp / Yp)

A quel punto possiamo ricavare la distanza del punto dall’origine del sistema polare ricavando la formula inversa di una di quelle sopra tramite il secondo principio di equivalenza, oppure mediante il teorema di Pitagora:

  • Xp = OP ∙ sen (OP);
    • OP = Xp / sen (OP);
  • Yp = OP ∙ cos (OP)
    • OP = Yp / cos (OP);

Tuttavia, se il punto si trova in uno degli altri quadranti, bisogna fare qualche passaggio in più. Come si nota dalla figura sotto, il rapporto tra i cateti del triangolo rettangolo non ricaverà immediatamente l’azimut del punto ma soltanto l’angolo interno al triangolo:

  • α = arctang (Xp / Yp)
  • OP = Xp / sen α;
  • OP = Yp / cos α;

Ricavare l’azimut del punto non è comunque difficile. Basterà determinare in quale quadrante si trova il punto e seguire le regole sugli angoli associati:

  • Se il punto si trova nel II° quadrante, basterà fare α + 90°;
  • Se il punto si trova nel III° quadrante, basterà sommare 180° ad α;
  • Nel caso in cui il punto si trovi nel IV° quadrante, basterà fare α + 270°
coordinate cartesiane a polari
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