Il primo principio di equivalenza

Il primo principio di equivalenza

Il primo principio di equivalenza è uno dei due principi che ci permettono di risolvere le equazioni e stabilisce se aggiungiamo o togliamo ad entrambi i membri di un’equazione lo stesso numero o la stessa espressione letterale otteniamo un’equazione equivalente, cioè un’altra equazione dove l’incognita ha lo stesso valore della prima. Da questo principio derivano la regola del trasporto e quella di cancellazione.

Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni letterali, dove compaiono lettere e spesso anche numeri, dove bisogna trovare il valore di una o più lettere, chiamate incognite, affinché l’equazione sia vera. Viene scritta nel seguente modo:

4x + 5 = 3x – 2

Due equazioni si dicono equivalenti quando hanno la stessa soluzione, cioè dove l’incognita che spesso viene chiamata con la lettera x, ha lo stesso valore per entrambi. Le due equazioni 4x + 5 = 3x -2 e 4x = 3x – 7 sono equivalenti perché x ha lo stesso valore per entrambi.

Le equazioni e il primo principio di equivalenza

Il primo principio di equivalenza si basa sulla prima legge di monotonia secondo cui aggiungendo o togliendo a due espressioni numeriche che hanno lo stesso risultato uno stesso numero, otteniamo altre due espressioni uguali.

8 + 2 = 5 + 5

8 + 2 + 4 = 5 + 5 + 4

Per il primo principio di equivalenza, aggiungendo o togliendo a due espressioni letterali che hanno lo stesso risultato uno stesso numero o una stessa espressione letterale, composta dal prodotto di numeri e lettere, otteniamo un’equazione equivalente. Vediamo come si applica nel trovare l’incognita di 4x + 5 = 3x -2.

4x + 5 – 3x = 3x -2 – 3x

x + 5 = -2

x + 5 – 5 = -2 – 5

x = -7

Applicando questo principio abbiamo fatto in modo che da una parte ci fosse soltanto l’incognita mentre dall’altro membro dell’equazione il suo valore numerico. Infatti, se al posto di x scriviamo -7 all’equazione iniziale, l’uguaglianza sarà vera.

4 ∙ (-7) + 5 = 3 ∙ (-7) – 2

-28 + 5 = -21 – 2

-23 = -23

Dal primo principio di equivalenza deriva, quindi, la regola del trasporto secondo cui se spostiamo un termine da un membro all’altro membro di un’equazione cambiandogli il segno, ne otteniamo una equivalente. Questo ci permette di saltare alcuni passaggi come mostrato sotto:

4x + 5 = 3x – 2

4x – 3x = – 2 – 5

4x = – 7

Da questo principio deriva anche la regola di cancellazione, secondo cui possiamo cancellare termini uguali che si trovano in entrambi i membri. Infatti è come se ne avessimo spostato uno e cambiato di segno: i due termini sarebbero opposti e si annullerebbero.

x + 5 = 5

x = 5 – 5

x = 0

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