La proprietà di Archimede è un assioma molto importante in matematica e la base per la dimostrazione di altri teoremi e calcolo dei limiti. Vediamo la definizione di campo archimedeo e dimostreremo questa proprietà. Vediamo anche quali insiemi numerici soddisfano questa proprietà.
Riassumiamo le caratteristiche di un campo. Un campo è un insieme di numeri a cui vengono associati le operazioni tra due elementi qualsiasi dell’insieme di addizione e di moltiplicazione e che devono godere di queste proprietà:
- Entrambe le operazioni devono avere il loro elemento neutro: 0 per l’addizione e 1 per la moltiplicazione. Tutti gli elementi non nulli devono essere invertibili anche rispetto la moltiplicazione.
- L’operazione di addizione deve essere commutativa, bisogna ottenere lo stesso risultato anche scambiando i due numeri di posizione; L’operazione di moltiplicazione deve godere della proprietà commutativa, associativa e distributiva rispetto l’addizione;
Sia gli insiemi dei numeri razionali, dei numeri reali e dei numeri complessi sono campi. Invece i numeri naturali e i numeri interi no. Vediamo ora cosa dice la proprietà di Archimede.
Un campo si dice archimedeo se presi due elementi qualsiasi del campo esiste un numero naturale tale che il prodotto del primo elemento con il numero naturale è maggiore del secondo elemento. Di conseguenza esiste sempre un numero naturale maggiore degli elementi del campo.
\[ \forall x,y \in \mathbb{Q} \quad x > 0 \implies \exists n \in \mathbb{N} \quad (n \geq 2): nx > y \]L’insieme dei numeri razionali è un campo archimedeo.
\[ \forall x,y \in \mathbb{Q} \quad x > 0 \implies \exists n \in \mathbb{N} \quad (n \geq 2): nx > y \]Nel caso in cui i due numeri sono maggiori di 0 la dimostrazione è immediata dato che l’insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme di \(\mathbb{Q}\).
Vediamo il caso in cui il secondo numero è maggiore di 0 e il primo è minore del secondo.
\[ \exists a,b,c,d \in \mathbb{N}\{0\} \quad x = \frac{a}{b}, y = \frac{c}{d} \] \[ \frac{a}{b} \lt \frac{c}{d} \implies ad \lt bc \] \[ \exists n \in \mathbb{N} \quad (n \geq 2): nad > nbc \implies \] \[ n\frac{a}{b} > \frac{c}{d} \] \[ Poniamo \quad n = bc \in \mathbb{N}\{0\}\] \[ nx = bc \cdot \frac{a}{b} = ac = ac \cdot \frac{c}{d} \] \[ nx = ac \cdot y > y \]Una conseguenza di questa proprietà è che per ogni numero intero e il suo successivo esiste almeno un numero razionale.