Una struttura algebrica è un insieme a cui viene definita, assegnata o implementata una o più operazioni che presi due elementi dell’insieme ritornano o danno come risultato un altro elemento dello stesso insieme. Le strutture algebriche vengono chiamate in modo diverso a seconda di alcune caratteristiche e proprietà.
Un’operazione che prende due elementi di un dato insieme e ritorna come risultato un elemento dello stesso insieme viene chiamata operazione binaria interna. Un insieme a cui viene assegnato un’unica operazione viene chiamato gruppoide.
Due operazioni binarie interne molto importanti e conosciute sono l’addizione e la moltiplicazione. Se prendiamo uno sottoinsieme dei numeri reali e consideriamo soltanto un’unica operazione binaria allora parliamo di gruppoide. Inoltre, se l’operazione definita su un insieme è associativa, cioè presi tre elementi qualsiasi dell’insieme otteniamo sempre lo stesso risultato indipendentemente se applichiamo l’operazione al primo con il secondo e il risultato con il terzo oppure applicandola al primo con il risultato della stessa operazione tra il secondo e il terzo, la struttura algebrica viene chiamata anche semigruppo.
Una struttura algebrica può avere anche l’elemento neutro. Questo avviene quando applicando l’operazione binaria tra l’elemento neutro e uno qualsiasi degli altri elementi otteniamo l’elemento scelto. Esiste un unico elemento neutro per ogni operazione binaria interna. In questo caso parliamo di monogruppo.
Come si definisce una struttura algebrica? Tra parentesi tonde si scrive il nome dell’insieme e poi i simboli di una o più operazioni binarie interne separate da virgole. Così, scrivendo (ℕ,+,∙) definiamo le operazioni di addizione e di moltiplicazione nell’insieme dei numeri naturali.
Un elemento di un monoide può essere invertibile, cioè esiste un altro elemento dell’insieme che applicando l’operazione definita su loro due otteniamo come risultato l’elemento neutro. Se chiamiamo l’elemento a, il suo inverso viene indicato come a-1.
Se tutti gli elementi di un insieme sono invertibili rispetto un’operazione, la relativa struttura algebrica viene chiamata gruppo. Se l’operazione è commutativa, cioè il risultato è uguale applicando l’operazione sia sul primo con il secondo che il secondo con il primo (quindi la posizione dei due termini è irrilevante) allora la struttura algebrica viene chiamata gruppo abeliano.
Vediamo alcuni esempi. L’insieme dei numeri interi relativi formano un gruppo abeliano assieme all’operazione di addizione (perché ogni numero ha l’inverso, cioè il suo opposto) ma non se l’insieme lo definiamo assieme all’operazione di moltiplicazione, perché l’opposto della maggior parte dei numeri interi relativi è un numero razionale ( 2,1/2;3,1/3,… ). Neppure l’insieme dei numeri razionali è un gruppo se lo definiamo assieme alla moltiplicazione a meno che non togliamo lo zero che non è invertibile. Per estensione, lo stesso discorso vale per i numeri reali.
Consideriamo adesso una struttura algebrica formata da un qualsiasi insieme A a cui vengono definite due operazioni binarie, in genere le chiamiamo somma e prodotto. In genere, per la definizione di addizione e moltiplicazione valgono queste proprietà:
- Il monoide che rappresenta l’insieme con la prima operazione (A,+) è un gruppo abeliano;
- La seconda operazione è associativa e vale anche la proprietà distributiva della seconda applicazione rispetto la prima proprio come la proprietà distributive della moltiplicazione rispetto l’addizione.
Se valgono entrambe le proprietà, la struttura algebrica viene chiamata anello. Inoltre, indichiamo con 0 l’elemento neutro rispetto la prima operazione e preso un elemento a, indichiamo con -a il suo elemento inverso (opposto). Se esiste l’elemento neutro anche per la seconda operazione, lo definiamo con il simbolo 1 e la struttura algebrica viene chiamata anello unitario. A sua volta un anello unitario si chiama corpo se ogni elemento non nullo è invertibile rispetto alla seconda operazione che a sua volta si chiama campo quando la seconda operazione (il prodotto) è commutativa.