Il quadrato di un trinomio

Il quadrato di un trinomio

Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati dei suoi tre termini e dei doppi prodotti di ogni termine con ciascuno degli altri. E’ uno dei prodotti notevoli, cioè una moltiplicazione particolare che, grazie ad alcune regole, si può scrivere il risultato immediatamente e senza fare passaggi intermedi.

Il trinomio è un polinomio dove figurano tre termini legati da segni di addizione o sottrazione. Dato che in algebra, per somma si intende entrambi i tipi di operazione, nello stabilire i segni dei risultati bisogna seguire la regola dei segni della moltiplicazione: se due numeri hanno lo stesso segno, il loro prodotto avrà segno positivo altrimenti avrà segno negativo.

Come elevare un trinomio al quadrato

Vediamo come si ricava la formula per elevare al quadrato un trinomio. Sappiamo che la potenza di un numero o più numeri e lettere consiste in una moltiplicazione ripetuta tante volte quanto indica l’esponente, il numeretto messo in alto a destra.

(A + B + C)2 = (A + B + C) (A + B + C) =

La moltiplicazione tra polinomi consiste nel moltiplicare ciascun termine del primo polinomio con ciascun termine del secondo. Dopodiché eseguiremo la somma algebrica:

(A + B + C)2 = (A + B + C) (A + B + C) =

A2 + AB + AC + B2 + AB + BC + C2 + AC + BC =

A2 + 2AB + 2AC + B2 + 2BC + C2 =

A2 + B2 + C22AB + 2AC2BC  

E se al posto della somma tra i termini del trinomio c’è il segno della sottrazione? In questo caso per fare il quadrato del trinomio si seguirà la regola dei segni: i quadrati dei vari termini avranno sempre segno negativo, il prodotto di due termini concordi avrà segno positivo mentre il prodotto di due termini discordi, con segno diverso, avrà segno negativo:

(A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2AC 2BC  

Riassumendo, ecco come fare il quadrato di un trinomio:

  1. Eleva al quadrato ciascuno dei tre termini e inserisci tra loro il segno dell’addizione

    A2 + B2 + C2

  2. Calcola il doppio prodotto tra ciascun termine del trinomio con gli altri due e segui la regola dei segni

    (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC  
    (A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2AC + 2BC  

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