Radice quadrata di 32

La radice quadrata di 32 è un numero irrazionale, composto da cifre decimali infinite e non periodiche che, elevato a 2, ha come risultato 32.

Un numero decimale periodico è un numero composto da cifre decimali infinite dove alcune o tutte si ripetono periodicamente come 12,15818181… o 5,4444…. Una radice è un’espressione matematica dove bisogna trovare quel numero che elevato all’indice indicato in alto a sinistra della radice permette di ottenere il numero indicato all’interno della radice, il radicando.

Per risolvere radici complesse, si utilizza la scomposizione del radicando in fattori primi in modo da ottenere eventuali potenze che si semplificano con l’indice della radice. Il numero 32 è dato dalla potenza alla quinta di 2; possiamo scomporlo tra il prodotto alla quarta di 2, che è 16 per 2. Dato che 16 è un quadrato perfetto il risultato finale sarà 4√2.

Nell'immagine viene mostrato come si risolve la radice quadrata di 32

Possiamo dimostrare che la radice quadrata di 32 è un numero irrazionale utilizzando il programma Geogebra, usato per imparare e insegnare la matematica e la geometria, costruendo la spirale dei radicali. Questa spirale è formata da tanti triangoli rettangoli posti l’uno sopra l’altro e aventi il cateto maggiore congruente e adiacente con l’ipotenusa di quello precedente. Il triangolo iniziale ha entrambi i cateti uguale a 1, in modo che l’ipotenusa è uguale alla radice di 2. Viene aggiunto un secondo triangolo che ha il cateto minore uguale a 1 in modo che la sua ipotenusa è uguale a √3 e così via. Nel nostro caso possiamo partire un po’ più avanti nella spirale.

Su Geogebra si costruisce una linea dei numeri e si costruisce un triangolo rettangolo avente come cateto maggiore la radice quadrata di 25, perché il primo quadrato perfetto precedente a 32 e l’estremo sinistro coincidente con il punto 0. Il cateto minore sarà uguale a 1 in modo che l’ipotenusa sarà uguale alla radice quadrata di 26 tramite il teorema di Pitagora:

Sull’ipotenusa tracciamo la perpendicolare nell’estremo destro in modo da costruire un altro triangolo con il cateto minore uguale a 1. Otteniamo così la lunghezza dell’ipotenusa uguale a √18. Si ripete il procedimento fino ad ottenere l’ipotenusa uguale a √20.

Immagine che mostra la spirale di radicali per ricavare la radice quadrata di 32

A questo punto, si traccia un arco con centro il punto 0 e raggio la lunghezza dell’ipotenusa in modo da trovare la posizione della radice quadrata di 32. Si attivano le griglie principali e secondarie e si ingrandisce l’immagine notando che il punto trovato non coinciderà mai con una delle rette delle griglie.

Possiamo notare, però, che la radice di 32 è un multiplo della radice quadrata di 2, essendo uguale a 4√2. Dato che la radice di 2 è formata da cifre decimali infiniti non periodici, ne consegue che anche la radice quadrata di 32 è allo stesso modo.

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