I sistemi di numerazione sono insiemi di regole e simboli usati per rappresentare i numeri e le operazioni che possono essere fatti tra di loro. Nel corso della storia, popoli diversi hanno creato sistemi di numerazione diversi ma con elementi in comune: alcuni usano lo 0 mentre altri no, alcuni si basano sulla posizione delle cifre mentre altri si basano sulla somma o sulla differenza delle varie cifre che si susseguono.
Fin dall’antichità, l’uomo ha avuto la necessità di contare, misurare, commerciare, amministrare, sviluppare nuove conoscenze scientifiche e tecniche. Per farlo ha dovuto implementare un qualche tipo di sistema che permettesse di usare i numeri in modo facile e comprensibile. La storia di come sono nati e si sono sviluppati i diversi tipi di notazione numerali è complessa e non ci sono tracce dei vari passaggi. In ogni caso, lo studio dei diversi tipi di sistemi numerali ha permesso di conoscere meglio la storia e le conoscenze scientifiche dei vari popoli ed è diventato un tema affascinante.
A questo punto, possiamo definire alcuni termini usati quando si parla di sistema di numerazione:
- Numerale: stringa di caratteri che rappresenta un numero in un determinato sistema di numerazione: IV e 16 sono due numerali;
- Significato: Ciò che una parola, scritta o detta, significa.
- Significante: Il modo. mezzo grafico o sonoro, che rappresenta il significato.
In sostanza, i sistemi di numerazione sono di due tipi: additivo/sottrattivo e posizionale. Entrambi i sistemi sono stati usati fin dall’antichità.
I sistemi additivi
Nei sistemi di numerazione additivi, ciascun simbolo rappresenta un valore fisso e i numeri si ottengono sommando o sottraendo questi valori.
Gli egizi avevano sviluppato un sistema numerico additivo a base 10, cioè dove i simboli rappresentavano potenze di 10. Esistevano simboli specifici per i numeri 1, 100, 1000, 10 000, 100 000 e 1 000 0000. Per rappresentare un numero diverso da questi veniva ripetuto il simbolo necessario e veniva sommato all’altro. Ad esempio il numero 112 sarebbe stato formato da un simbolo per 100, uno per 100 e due simbolo che rappresentano 1.
Un sistema additivo molto conosciuto è quello romano. Anche in questo caso ci sono dei simboli per dei numeri specifici che vengono usati come riferimento:
| Simbolo romano | Numero |
|---|---|
| I | 1 |
| V | 5 |
| X | 10 |
| L | 50 |
| C | 100 |
| D | 500 |
| M | 1000 |
In base alla tabella, per indicare il numero 2024 in notazione romana scriveremo MMXXIV, cioè 1000 + 1000 + 10 + 10 + 4. Infatti il simbolo I scritto prima di V significa 5 – 1 mentre se fosse stato inserito a destra avrebbe significati 5 + 1.
Uno stesso simbolo può essere ripetuto massimo due volte, per poi passare al simbolo successivo, come mostrato nella tabella sotto:
| Simbolo romano | Numero |
|---|---|
| I | 1 |
| II | 2 |
| III | 3 |
| IV | 4 |
| V | 5 |
| VI | 6 |
| VII | 7 |
| VIII | 8 |
| IX | 9 |
| X | 10 |
| XI | 11 |
| XII | 12 |
| XIII | 13 |
| XIV | 14 |
| XV | 15 |
I sistemi di numerazione posizionali
Oggi usiamo i sistemi di numerazione posizionali, dove la posizione di una cifra è fondamentale. Funzionano con le potenze dove la base è il numero naturale scelto come riferimento, viene definita una serie di cifre che indicano tutti i numeri naturali più piccoli della base, compreso lo 0 e tutti gli altri numeri vengono espressi in funzione di potenze di quella base.
Il nostro sistema numerico è chiamato decimale, o a base 10, perché la posizione di ogni cifra rappresenta una potenza di 10 contandola da destra a sinistra:
- Unità: potenza di 100 cioè 1;
- Decina: potenza di 101, cioè 10;
- Centinaia: il quadrato di 10, cioè 100;
- Migliaia: 1000.
Così 1345 è uguale a 1 × 1000 + 3 × 100 + 4 × 10 + 5 × 1. Anche se sottinteso nel sistema decimale, in altri sistemi la base viene indicata come pedice alla fine del numero. In questo caso 134510 indica che stiamo usano il sistema decimale ma se scrivessimo 134512, allora stiamo usando la base 12 e quindi ciascuna cifra andrebbe moltiplicata con la potenza di 12.
Ovviamente, non abbiamo bisogno di fare tutti questi calcoli perché siamo abituati a leggere questi numeri da quando siamo nati. L’insieme di cifre usate nel nostro sistema sono 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
In informatica il sistema numerico principale è il binario, a base 2. Questo significa che vengono usati soltanto due simboli, lo 0 che indica uno stato di spento o falso, e 1 che indica uno stato di acceso o di vero. Viene usato in quanto gli apparecchi elettrici sono in grado soltanto di fare passare la corrente o impedire il flusso di energia elettrica. I software del PC analizzano le migliaia di infiniti dispositivi all’interno del processore e sono in grado di attribuirgli un significato.
Altre basi utilizzate in informatica sono:
- Ottale: è formato da 8 simboli (0,1,2,3,4,5,6,7) e un numero viene indicato scrivendo 8 come pedica alla fine di un numero. Es 16728
- Esadecimale: è a base 16 e utilizza 16 simboli: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
| Sistema binario | Sistema ottale | Sistema decimale | Sistema esadecimale |
|---|---|---|---|
| 0001 | 01 | 1 | 1 |
| 0010 | 02 | 2 | 2 |
| 0011 | 03 | 3 | 3 |
| 0100 | 04 | 4 | 4 |
| 0101 | 05 | 5 | 5 |
| 0110 | 06 | 6 | 6 |
| 0111 | 07 | 7 | 7 |
| 1000 | 10 | 8 | 8 |
| 1001 | 11 | 9 | 9 |
| 1010 | 12 | 10 | A |
| 1011 | 13 | 11 | B |
| 1100 | 14 | 12 | C |
| 1101 | 15 | 13 | D |
| 1110 | 16 | 14 | E |
| 1111 | 17 | 15 | F |
| 10000 | 20 | 16 | 10 |
| 10001 | 21 | 17 | 11 |
Per convertire un numero da un qualsiasi sistema al quello che usiamo nel quotidiano basta usare il metodo mostrato sopra: basta sommare il prodotto di ciascuna cifra per la relativa potenza di base del sistema con esponente la posizione della cifra.
