La somma di due cubi

La somma di due cubi

La somma di due cubi è uguale al prodotto tra la somma delle loro basi per la somma dei due quadrati delle loro basi meno il prodotto delle loro basi. E’ uno dei tipi di polinomi che si può scomporre mediante una semplice regola. La formula generica è:

A3 + B3 = (A + B) (A2 + AB + B2)

Il secondo fattore della somma di due cubi è un trinomio chiamato falso quadrato, perché sembra il prodotto notevole del quadrato di binomio ma in realtà non lo è dato che manca il doppio prodotto.

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

Scomposizione della somma di cubi

Vediamo la dimostrazione cercando di scomporre x3 + 8. Troviamo il suo divisore applicando il metodo di Ruffini, un altro dei metodi usati per scomporre un polinomio. Tra i divisori del termine noto c’è anche -2 ed è questo il numero che annulla il polinomio e, di conseguenza, il resto della divisione con x + 2.

P(-2) = – 8 + 8 = 0

Facciamo la divisione tra x3 + 8 e x + 2 applicando la regola di Ruffini.

somma di cubi regola di ruffini

Il risultato è x2 – 2x + 4. Si può notare che anche se sembra un quadrato di binomio, in realtà non lo è. Infatti il doppio prodotto delle basi è 2 ∙ 2 ∙ x = 4x. I falsi quadrati sono irriducibili, non possono essere scomposti in altri polinomi di grado inferiore.

Pertanto il polinomio x3 + 8 si scompone in (x + 2) (x2 – 2x + 4): il primo fattore è la somma delle basi mentre il secondo fattore è la somma dei loro quadrati meno il loro prodotto.

Per saperne di più sulla scomposizione dei polinomi e sugli altri metodi usati per ridurli in polinomi di grado più piccolo si può leggere questo articolo.

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