Dato uno spazio vettoriale, possiamo definire uno o più sottospazi vettoriali se anche loro soddisfano le stesse condizioni sul campo dello spazio vettoriale a cui appartengono. Soprattutto devono contenere il vettore neutro e presi due qualsiasi elementi del campo e due vettori del sottospazio, la loro combinazione lineare deve appartenere al sottospazio. Spesso si dice semplicemente che è un sottospazio.
Uno spazio vettoriale è un gruppo abeliano a cui viene definita un’operazione di moltiplicazione con gli elementi di un campo, come quello dei numeri reali o dei numeri complessi, cui valgono le seguenti proprietà:
- Distributiva del prodotto di un vettore sulla somma di due scalari,
- Distributiva del prodotto di uno scalare sulla somma di due vettori
- La proprietà associativa sul prodotto di due scalari e un vettore
- Esiste l’elemento neutro, lo scalare 1 che moltiplicato con un vettore ritorna lo stesso vettore.
Ricordiamo che gli elementi di un campo sono chiamati scalari mentre quelli di uno spazio vettoriale sono chiamati vettori. In simboli:
Sia \((K,+,\cdot)\) un campo e \((V,+)\) un gruppo abeliano. La moltiplicazione per scalare è una funzione \[ f : K \times V \to V,\qquad (a,v) \mapsto av, \] tale che per ogni \(a,b \in K\) e \(u,v \in V\) valgono gli assiomi: \[ (a + b)v = av + bv \] \[ a(u + v) = au + av \] \[ a(bv) = (ab)v \] \[ 1v = v \]Preso un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, esso viene chiamato sottospazio se e solo se è a sua volta uno spazio vettoriale sullo stesso campo. Di conseguenze deve per forza avere l’elemento neutro rispetto al prodotto con il campo, il vettore 0 e soddisfare le stesse proprietà di uno spazio vettoriale. Pertanto la combinazione lineare di qualsiasi due vettori del sottospazio deve appartenere al sottospazio:
\[ au + av \in S, S \subseteq V \]Facciamo un esempio. Prendiamo una matrice qualsiasi; il sottoinsieme formato da tutte le colonne con lo stesso numero di elementi delle colonne della matrice il cui prodotto con la matrice forma il vettore nullo è un sottospazio della matrice.
La dimostrazione è semplice: Se la colonna è un vettore nullo, il risultato del prodotto è il vettore nullo che appartiene al sottospazio. Adesso, prese due colonne qualsiasi del sottoinsieme e due scalari qualsiasi possiamo dimostrare che la loro combinazione lineare appartiene al sottospazio. Infatti, moltiplicando la matrice con la combinazione lineare otteniamo la somma del prodotto di due scalari con i vettori nulli, essendo ottenuti dal prodotto della matrice con ciascuna colonna.
\[ A \in K^{m,n}, S = \set{X \in K^{n} : AX = \mathbf{0}} \subseteq K^{n} \] \[ A \mathbf{0} = \mathbf{0} => \mathbf{0} \in S \] \[ \forall X_{1},X_{2} \in S; \forall a_{1}, a_{2 \in K} => AX_{1} = \mathbf{0}, AX_{2} = \mathbf{0} \] \[ A(a_{1}X_{1} + a_{2}X_{2}) = a_{1}AX_{1} + a_{2}AX_{2} = a_{1}\mathbf{0} + a_{2}\mathbf{0} = \mathbf{0} \]Operazioni tra sottospazi vettoriali
Tra due sottospazi dello stesso spazio vettoriale è possibile definire le operazioni di addizione e di intersezione. Iniziamo con l’intersezione, cioè il sottoinsieme che contiene i vettori di tutti e due i sottospazi: anche questo è un sottospazio vettoriale.
Infatti il vettore nullo appartiene ad entrami e quindi anche alla loro intersezione, inoltre presi due vettori qualsiasi del sottospazio la loro combinazione lineare appartiene per definizione di spazio vettoriale sia al primo sottospazio che al secondo; di conseguenza appartiene anche alla loro intersezione.
\[ V \text{ e } W \text{ sono sottospazi di } K^{n} \] \[ U = V \cap W = \{X \in K^{n} : X \in V \text{ e } X \in W\} \] \[ \mathbf{0} \in V \text{ e } \mathbf{0} \in W \Rightarrow \mathbf{0} \in U \] \[ \forall X_{1}, X_{2} \in U; \forall a_{1}, a_{2} \in K \] \[ a_{1}X_{1} + a_{2}X_{2} \in V \text{ e } a_{1}X_{1} + a_{2}X_{2} \in W \Rightarrow a_{1}X_{1} + a_{2}X_{2} \in U \]La somma di due sottospazi consiste nel sommare un elemento del primo con un elemento del secondo. Anche la somma di due sottospazi è un sottospazio vettoriale: infatti contiene il vettore nullo quando è somma dei loro vettori nulli e la combinazione lineare di una loro somma è in realtà la combinazione lineare della somma di due vettori del primo sottospazio con quella della somma di due vettori del secondo sottospazio.
\[ U \text{ e } W \text{ sono sottospazi di } K^{n} \] \[ U + W = \{X \in K^{n} : X = v + w, v \in U, w \in W\} \] \[ \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{0} \in U + W \] \[ \forall v_{1}, v_{2} \in U+W; \forall a_{1}, a_{2} \in K \] \[ v_{1} = u_{1} + w_{1}, v_{1} \in U, w_{1} \in W \] \[ v_{2} = u_{2} + w_{2}, v_{2} \in U, w_{2} \in W \] \[ a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} = a_{1}(u_{1} + w_{1}) + a_{2}(u_{2} + w_{2}) = \] \[ (a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2}) + (a_{1}w_{1} + a_{2}w_{2}) \in U + W \]La somma tra due sottospazi viene chiamata diretta se esiste un solo vettore del primo sottospazio e un solo vettore del secondo che ci dà un vettore somma. Di conseguenza l’intersezione dei due sottospazi è l’insieme vuoto.
\[ U \text{ e } W \text{ sono sottospazi di } K^{n} \] \[ U + W \text{ è somma diretta se } U \cap W = \{\mathbf{0}\} => \] \[ \forall v \in U + W, \exists ! u \in U, \exists ! w \in W : v = u + w \] \[ U \oplus W = U + W \text{ somma diretta} \]La dimostrazione che la somma è diretta se l’intersezione tra sottospazi è l’insieme vuoto è duplice. Se partiamo dal presupposto che sia diretta allora per ottenere lo stesso vettore dalla somma dei due dove uno dei due è il vettore somma allora l’altro deve essere per forza nullo.
Se partiamo dal presupposto che l’intersezione è vuota applichiamo la somma prendendo due vettori diversi per ciascuno sottospazio. Alla fine scopriremo che sono gli stessi e quindi la somma è diretta.
\[ v \in U + W, v = u_{1} + w_{1} = u_{2} + w_{2}, u_{1},u_{2} \in U, w_{1},w_{2} \in W \] \[ u_{1} – u_{2} = w_{2} – w_{1} \] \[ u_{1} – u_{2} \in U, w_{2} – w_{1} \in W \] \[ u_{1} – u_{2} \in U \cap W => u_{1} – u_{2} = \mathbf{0} => u_{1} = u_{2} \] \[ w_{2} – w_{1} = \mathbf{0} => w_{1} = w_{2} \]