L’elevamento a potenza è una funzione matematica che preso un elemento di un insieme ottiene il suo prodotto con se stesso tante volte indicato dall’esponente, un numero intero o razionale. Nel caso di un numero intero positivo, il calcolo è quello conosciuto relativo le potenze. Nel caso in cui figura una frazione come esponente bisogna considerare diversi casi.
Come si può vedere anche dal grafico interattivo, se l’esponente è un numero intero la funzione cambia a seconda se esso è pari o dispari. Nel primo caso, la funzione sarà pari, cioè per ogni elemento del dominio la sua immagine coincide con quella del suo opposto e il codominio è nell’intervallo che va da 0 a infinito; inoltre la funzione è strettamente decrescente se l’elemento del dominio è nell’intervallo ]-∞,0], strettamente crescente se è nell’intervallo [0,+∞[. Invece, nel secondo caso, la funzione è dispari e l’immagine dell’opposto di un elemento è uguale all’opposto dell’immagine dell’elemento e il codominio della funzione è tutto il campo dei numeri reali; la funzione è strettamente crescente in tutto il dominio.
Se l’esponente è un numero razionale, il discorso cambia. Se il denominatore è un numero dispari il dominio è tutto il campo dei reali ma se il denominatore è un numero pari, il dominio è soltanto l’intervallo [0,+∞[. Infatti, per le proprietà delle potenze, la potenza di una radice è uguale ad una potenza con la stessa base e con esponente il rapporto tra l’esponente della potenza e quello della radice. E le radici quadrate o di multipli di 2 non sono definite per i numeri negativi:
\[ (\sqrt[n]{x})^m = x^{\frac{m}{n}} \]Se il denominatore è dispari, il dominio è sempre tutto il campo dei numeri reali. Se il numeratore è pari la funzione ad elevamento a potenza sarà pari, strettamente decrescente nell’intervallo ]-∞,0], strettamente crescente nell’intervallo [0,+∞[. Se il numeratore è dispari, la funzione sarà dispari e strettamente decrescente.
Nel caso in cui sia numeratore che denominatore sono numeri pari, il discorso basta semplificare essendo entrambi divisibili per 2 o per i suoi multipli. Alla fine ci troveremo in uno dei casi menzionati sopra.