Gli angoli alla circonferenza

Gli angoli alla circonferenza

Gli angoli alla circonferenza hanno il vertice tra i punti di una circonferenza e le semirette che li delimitano che toccano altri due punti di essa. La parte di circonferenza delimitata dai punti di intersezione con le semirette dell’angolo viene chiamata arco. Da uno stesso arco tutti gli angoli alla circonferenza sono uguali e corrispondono alla metà dell’angolo che quegli stessi punti formano con il centro del cerchio.

La circonferenza non è una poligonale ma piuttosto un insieme di punti che hanno tutti la stessa distanza da uno fisso che viene chiamato centro. Per potere disegnare una circonferenza è necessario utilizzare un compasso, strumento dotato di una punta di metallo su un’asta e di una mina per disegnare sull’altra asta. Dopo avere poggiato la punta di metallo dove vogliamo sia il centro e impostato una distanza precisa tra la punta di metallo e la mina, possiamo girare il compasso su se stesso e tracciare la circonferenza.

Angoli alla circonferenza e angoli al centro che insistono sullo stesso arco

Nell’immagine sotto, dall’arco BC viene tracciato un angolo al centro BOC e uno alla circonferenza BAC. Viene tracciato anche un diametro, segmento che passa da un punto all’altro della circonferenza e che tocca il centro, che divide in due parti entrambi gli angoli.

angoli alla circonferenza metà dell'angolo al centro, dimostrazione

Si formano i due triangoli AOB e AOC che avendo due lati uguali al raggio della circonferenza sono entrambi isosceli. Di conseguenza gli angoli alla base sono uguali.

L’angolo al centro è la somma dei due angoli divisi e che sono anche gli angoli esterni dei rispettivi triangoli. Inoltre, entrambi gli angoli sono uguali alla somma degli angoli interni dei rispettivi triangoli che non sono loro adiacenti.

In altre parole:

  • BOD = BAO + BAO = 2 BAO
  • DOC = OAC + OAC = 2 OAC
  • BOC = BOD + DOC = 2 BAO + 2 OAC = 2 (BAO + OAC) = 2 BAC
  • BOC = 2 BAC; BAC = 1/2 BOC

Di conseguenza è corretto dire che gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono tutti uguali e corrispondono alla metà dell’angolo al centro dello stesso arco o della stessa corda se si considera il segmento BC che non è stato disegnato.

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