I criteri di divisibilità servono a capire se un numero è composto senza bisogno di ricorrere alle divisioni. In un articolo precedente, è stato spiegato che:
- I numeri primi sono divisibili solo per se stessi;
- I numeri composti sono numeri divisibili per almeno un altro numero intero diverso da 1.
Vediamo adesso come funzionano i criteri di divisibilità e come ci aiutano a capire se un numero è divisibile.
- Divisibilità per 2
- Divisibilità per 3
- Divisibilità per 5
- Divisibilità per 7
- Divisibilità per 11
- Divisibilità per 4
- Divisibilità per 6
- Divisibilità per 9
- Divisibilità per 10, 100, 1000, 10n
- Divisibilità per 13, 17, 23
- Criterio generalizzato
Divisibilità per 2
Un numero è divisibile per 2 solo se la sua unità (l’ultima cifra) è un numero pari (quindi 0, 2, 4, 6, 8).
- 12
- 48
- 4632
Divisibilità per 3
Un numero è divisibile per 3 solo se lo è anche la somma delle sue cifre.
- 21 | 2 + 1 = 3
- 27 | 2 + 7 = 9
- 152 | 1 + 5 + 2 = 8 (8 non è divisibile per 3)
Divisibilità per 5
Un numero è divisibile per 5 se la sua unità è 0 oppure 5.
- 15
- 30
- 45
- 4630
Divisibilità per 7
Per capire questo criterio di divisibilità facciamo un esempio. Vogliamo sapere se 4396 è divisibile per 7.
- Innanzitutto prendiamo a parte la sua unità e la raddoppiamo:
- 6 * 2 = 12
- Poi prendiamo le altre cifre e facciamo la sottrazione con il risultato ottenuto:
- 439 – 12 = 427
- Ripetiamo il procedimento fino a quando non sappiamo se il risultato finale è divisibile per 7:
- 9 * 2 = 18;
- 43 – 18 = 25 (25 non è divisibile per 7)
Si considera il valore assoluto (cioè non si tiene conto se il risultato è negativo).
Scopri se questi numeri sono divisibile per 7: 252, 3 569, 10 457
Divisibilità per 11
Per capire se un numero è divisibile per 11 facciamo un altro esempio: abbiamo il numero 18346. Ho colorato apposta le cifre di posto pari di rosso e quelle di posto dispari di verde.
Facciamo il calcolo un passo alla volta:
- Sommiamo prima di tutto le cifre di posto pari:
- 8 + 4 = 12
- Sommiamo poi le cifre di posto dispari:
- 1 + 3 + 6 = 10
- Facciamo la sottrazione dei due risultati:
- 12 – 10 = 2
Se il risultato risulti uguale a 0, 11 o un multiplo di 11, il numero iniziale è divisibile per 11. In questo caso, no.
Nel caso il risultato fosse negativo (perché la somma pari è inferiore a quella dispari), bisogna vedere solo se la cifra trovata rispetta la regola sopra.
Esercitati e scopri se questi numeri sono divisibile per 11: 252, 3 569, 10 457
Se un numero ha le cifre a due a due uguali è sempre divisibile per 11.
- 4499;
- 3344775588
Altri criteri di divisibilità
Quelli che abbiamo visto sono quelli più studiati e conosciuti. Ce ne sono anche altri, di cui faremo una breve considerazione.
Divisibilità per 4
Un numero è divisibile per 4 se rispetta una di queste due condizioni:
- La cifra delle decine è un numero dispari e quella delle unità è 2 o 6:
- 56
- 152
- 1432
- La cifra delle decine è un numero pari e quelle delle unità è 0, 4 o 8
- 48
- 124
- 1360
Divisibilità per 6
Un numero è divisibile per 6 se lo è sia per 2 che per 3.
Basta verificare che un numero soddisfi i criteri per 2 e per 3 descritti sopra.
Divisibilità per 9
Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9
Divisibilità per 10, 100, 1000, 10n
Un numero è divisibile per 10 solo se l’unità è uguale a 0.
Un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 0, per 1000 se le ultime tre cifre sono 0, e così via.
Divisibilità per 13, 17 e 23
Seguono la stessa regole del criterio di divisibilità per 7 (vedi sopra).
- Nel primo caso, bisogna moltiplicare la cifra dell’unità per 4 e il risultato finale deve essere 0, 13 o un suo multiplo;
- Nel secondo caso si deve moltiplicare l’unità per 5 e il risultato deve essere 0, 17 o un suo multiplo;
- Nel terzo caso moltiplichiamo l’unità per 7 e il risultato finale deve essere 0, 23 o un suo multiplo.
Criterio generalizzato
Poniamo il caso di un ipotetico numero c che è uguale ad a*b.
Un numero è divisibile per c se lo è anche per a e b.
Sotto è possibile scaricare la tabella in pdf sui criteri di divisibilità