I Criteri di divisibilità

I criteri di divisibilità servono a capire se un numero è composto senza bisogno di ricorrere alle divisioni. In un articolo precedente, è stato spiegato che:

  • I numeri primi sono divisibili solo per se stessi;
  • I numeri composti sono numeri divisibili per almeno un altro numero intero diverso da 1.

Vediamo adesso come funzionano i criteri di divisibilità e come ci aiutano a capire se un numero è divisibile.

Divisibilità per 2

Un numero è divisibile per 2 solo se la sua unità (l’ultima cifra) è un numero pari (quindi 0, 2, 4, 6, 8).

  • 12
  • 48
  • 4632

Divisibilità per 3

Un numero è divisibile per 3 solo se lo è anche la somma delle sue cifre.

  • 21 | 2 + 1 = 3
  • 27 | 2 + 7 = 9
  • 152 | 1 + 5 + 2 = 8 (8 non è divisibile per 3)

Divisibilità per 5

Un numero è divisibile per 5 se la sua unità è 0 oppure 5.

  • 15
  • 30
  • 45
  • 4630

Divisibilità per 7

Per capire questo criterio di divisibilità facciamo un esempio. Vogliamo sapere se 4396 è divisibile per 7.

  • Innanzitutto prendiamo a parte la sua unità e la raddoppiamo:
    • 6 * 2 = 12
  • Poi prendiamo le altre cifre e facciamo la sottrazione con il risultato ottenuto:
    • 439 – 12 = 427
  • Ripetiamo il procedimento fino a quando non sappiamo se il risultato finale è divisibile per 7:
    • 9 * 2 = 18;
    • 43 – 18 = 25 (25 non è divisibile per 7)

Si considera il valore assoluto (cioè non si tiene conto se il risultato è negativo).

Scopri se questi numeri sono divisibile per 7: 252, 3 569, 10 457

Divisibilità per 11

Per capire se un numero è divisibile per 11 facciamo un altro esempio: abbiamo il numero 18346. Ho colorato apposta le cifre di posto pari di rosso e quelle di posto dispari di verde.

Facciamo il calcolo un passo alla volta:

  • Sommiamo prima di tutto le cifre di posto pari:
    • 8 + 4 = 12
  • Sommiamo poi le cifre di posto dispari:
    • 1 + 3 + 6 = 10
  • Facciamo la sottrazione dei due risultati:
    • 12 – 10 = 2

Se il risultato risulti uguale a 0, 11 o un multiplo di 11, il numero iniziale è divisibile per 11. In questo caso, no.

Nel caso il risultato fosse negativo (perché la somma pari è inferiore a quella dispari), bisogna vedere solo se la cifra trovata rispetta la regola sopra.

Esercitati e scopri se questi numeri sono divisibile per 11: 252, 3 569, 10 457

Se un numero ha le cifre a due a due uguali è sempre divisibile per 11.

  • 4499;
  • 3344775588
Criteri di divisibilità, tabella ed esempi | Criterio di divisibilità per 2, per 3, per 7, per 11
Tabella riassuntiva dei principali criteri di divisibilità

Altri criteri di divisibilità

Quelli che abbiamo visto sono quelli più studiati e conosciuti. Ce ne sono anche altri, di cui faremo una breve considerazione.

Divisibilità per 4

Un numero è divisibile per 4 se rispetta una di queste due condizioni:

  • La cifra delle decine è un numero dispari e quella delle unità è 2 o 6:
    • 56
    • 152
    • 1432
  • La cifra delle decine è un numero pari e quelle delle unità è 0, 4 o 8
    • 48
    • 124
    • 1360

Divisibilità per 6

Un numero è divisibile per 6 se lo è sia per 2 che per 3.

Basta verificare che un numero soddisfi i criteri per 2 e per 3 descritti sopra.

Divisibilità per 9

Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9

Divisibilità per 10, 100, 1000, 10n

Un numero è divisibile per 10 solo se l’unità è uguale a 0.

Un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 0, per 1000 se le ultime tre cifre sono 0, e così via.

Divisibilità per 13, 17 e 23

Seguono la stessa regole del criterio di divisibilità per 7 (vedi sopra).

  • Nel primo caso, bisogna moltiplicare la cifra dell’unità per 4 e il risultato finale deve essere 0, 13 o un suo multiplo;
  • Nel secondo caso si deve moltiplicare l’unità per 5 e il risultato deve essere 0, 17 o un suo multiplo;
  • Nel terzo caso moltiplichiamo l’unità per 7 e il risultato finale deve essere 0, 23 o un suo multiplo.

Criterio generalizzato

Poniamo il caso di un ipotetico numero c che è uguale ad a*b.

Un numero è divisibile per c se lo è anche per a e b.

Sotto è possibile scaricare la tabella in pdf sui criteri di divisibilità