Il cubo di un binomio è uno dei prodotti notevoli dei polinomi, cioè una moltiplicazione in cui si può scrivere subito il risultato senza fare passaggi grazie ad alcune regole.
Un binomio è un polinomio, cioè una somma algebrica dove gli addendi sono prodotti di numeri e lettere, formato da due termini. Ad esempio, 2b + 3a, x + y, 4d + 5 sono tutti binomi e come mostra l’ultimo caso possono anche apparire dei numeri senza avere delle lettere accanto.
Fare il cubo di un binomio significa elevarlo alla terza cioè moltiplicarlo per tre volte con se stesso. Se stabiliamo che le lettere A e B sono i termini del polinomio, la formula generica sarà:
(A + B)3 = (A + B)(A + B)(A + B)
Come elevare un binomio al cubo
In parole semplici, per elevare un binomio al cubo bisogna fare la somma tra le potenze al cubo dei due termini, il triplo prodotto del quadrato del primo termine con il secondo e il doppio prodotto del primo termine con il quadrato del secondo.
(A + B)3 = A3+ 3A2B + 3AB2 + B3
Vediamo adesso come si dimostra questa formula. Come abbiamo visto sopra elevare alla terza un polinomio significa moltiplicarlo per se stesso 3 volte. Tuttavia possiamo scrivere la formula in un altro modo, facendo il prodotto tra il binomio con il suo quadrato, un altro prodotto notevole.
(A + B)3 = (A + B)(A + B)2 =
(A + B) (A2 + 2AB + B2)
A questo punto, basterà fare una semplice moltiplicazione tra due polinomi, ricavando il prodotto tra ciascun termine del primo con tutti i termini del secondo. Nel passaggio successivo, eseguiremo la somma algebrica tra i termini simili ottenuti.
(A + B) (A2 + 2AB + B2) =
A3 + 2A2B + AB2 + A2B + 2AB2 + B3 =
A3+ 3A2B + 3AB2 + B3
Cubo della differenza dei termini di un binomio
Che dire se tra i due termini di un binomio c’è un segno negativo che indica una sottrazione come (A – B)3? Possiamo capire come funziona in questo caso riprendendo la formula di partenza e applicando però la regola del quadrato della differenza di un binomio, il quale avrà il doppio prodotto di segno negativo:
(A – B) (A2 – 2AB + B2) =
A3 – 2A2B + AB2 + A2(-B) + 2A(-B)2 + (-B)3 =
Prima di continuare, ricordiamo alcune regole della moltiplicazione. In base alla regola dei segni, qualsiasi segno elevato al quadrato diventerà positivo mentre quando un segno positivo viene moltiplicato con uno negativo, il risultato sarà un segno negativo.
Pertanto +A2(-B) diventerà – A2B mentre + 2A(-B)2 diventerà + 2AB2. Infine (-B)3 rimarrà negativo. Infatti (-B)3 = (-B) (-B) (-B) = (+B)2 (-B) = -B3. Riprendiamo ora la formula di prima:
(A – B)3 =
(A-B) (A2 – 2AB + B2) =
A3 – 2A2B + AB2 + A2(-B) + 2A(-B)2 + (-B)3 =
A3 – 2A2B + AB2 – A2B + 2AB2 – B3 =
A3 – A2B – 3AB2 – B3
Possiamo quindi dire che il cubo della differenza tra i termini di un binomio è uguale al cubo del primo termine meno il prodotto tra il quadrato del primo con il secondo più il triplo prodotto tra il primo termine con il quadrato del secondo meno il cubo del secondo termine.
Comunque sia, dato che nelle espressioni con i polinomi l’addizione e la sottrazione vengono considerati una sola operazione chiamata somma algebrica, la definizione generale riportata più in alto è altrettanto corretta.