La differenza di due cubi

La differenza di due cubi

La differenza di due cubi è uguale al prodotto tra la somma delle loro basi per il trinomio formato dalla somma dei due quadrati delle loro basi e del prodotto delle basi. E’ uno dei tipi di polinomi che si può scomporre mediante una semplice regola. La formula generica è:

A3 + B3 = (A + B) (A2 + AB + B2)

Il secondo fattore della somma di due cubi è un trinomio chiamato falso quadrato, perché sembra il prodotto notevole del quadrato di binomio ma in realtà non lo è dato che manca il doppio prodotto.

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

Scomposizione della differenza di cubi

Possiamo dimostrare quanto detto scomponendo x3 – 27. Troviamo il divisore di questo polinomio applicando il metodo di Ruffini, un altro dei metodi usati per scomporre i polinomi. Tra i divisori del termine noto c’è anche +3 ed è questo il numero che annulla il polinomio e, di conseguenza, il resto della divisione con x – 3.

P(3) = 27 – 27 = 0

Facciamo la divisione tra x3 – 27 e x – 3 applicando la regola di Ruffini, secondo lo schema che segue.

differenza di cubi, dimostrazione tramite la scomposizione regola di ruffini

Il quoziente della divisione è x2 + 3x + 9. Anche se questo trinomio sembra il quadrato di un binomio, in realtà non lo è. Manca, infatti, il doppio prodotto tra le basi delle due potenze che sarebbe dovuto essere 6x e non 3x.

Pertanto il polinomio x3 – 27 si scompone in (x – 3) (x2 + 3x + 9): il primo fattore è la somma delle basi mentre il secondo fattore è la somma dei loro quadrati e del loro prodotto.

Per saperne di più sulla scomposizione dei polinomi e sugli altri metodi usati per ridurli in polinomi di grado più piccolo si può leggere questo articolo.

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