L’errore assoluto

L’errore assoluto

L’errore assoluto di una misurazione indica l’errore massimo che può fare uno strumento a causa del suo limite minimo di misurazione.

Una qualsiasi grandezza fisica può essere misurata e gli si può attribuire una determinata quantità. Per misurare la lunghezza di una stanza usiamo il metro mentre per pesare gli ingredienti per cucinare ci si serve di una bilancia.

Ogni strumento di misurazione è dotato di una sensibilità, cioè il suo limite minimo, e di una portata, il suo limite massimo. Ad esempio, un righello usato per lo studio a scuola ha la sensibilità di 1 millimetro e la portata di 15 centimetri.

Mentre è immediato ricavare l’errore assoluto di una misurazione diretta, è necessario fare alcuni calcoli nel caso di grandezze derivate, cioè quelle grandezze ottenute mediante calcoli.

Come si calcola l’errore assoluto di una grandezza derivata

Poniamo il caso che vogliamo misurare la lunghezza del proprio diario e scopriamo che è compresa tra 12,10 e 12,20 cm. Dato che il millimetro è il limite minimo del righello non è possibile ricavare una misura più esatta ma certamente l’errore è minore di un millimetro.

Per avere la stima più attendibile di misurazione prendiamo la somma del valore centrale dell’intervallo della sensibilità del righello con la misura certa per la lunghezza, 12,15 cm, e come errore consideriamo la metà della sua sensibilità, 0,05 cm. Scriveremo che l = (12,15 ± 0,05) cm. Tutte le misure devono avere la stessa unità di misura.

Per capire come si calcola l’errore assoluto quando si fanno dei calcoli, utilizzeremo lo stesso esempio dell’articolo sull’errore relativo. Cerchiamo di calcolare l’area di un rettangolo disegnato su un foglio a quadri dove il lato di un singolo quadrato viene usato come unità di misura.

calcolo errore assoluto: dimostrazione e formula
Il rettangolo da misurare è ABCD mentre l’errore massimo nella misurazione della superficie è rappresentato dai rettangoli CIJK e ADLK

In base a quello che abbiamo detto, possiamo scrivere le misure dei due lati del rettangolo:

  • AB =  (7,5 ± 0,5) l
  • BC = (4,5 ± 0,5) l

Poiché la somma degli errori relativi di due o più misure equivale all’errore relativo del loro prodotto, è possibile tramite la formula inversa ricavare quello assoluto.

Come spiegato nell’articolo indicato sopra, l’errore relativo è uguale al rapporto tra l’errore assoluto e la misurazione fatta e la sua formula si può scrivere in questo modo: er = ea / M.

Calcoliamo gli errori relativi dei lati del rettangolo arrotondandoli a due cifre decimali e li sommiamo:

  • er1 = ea1 / M1 = 0,5 l / 7,5 l = 0,07
  • er2 = ea2 / M2 = 0,5 l / 4,5 l = 0,11
  • er = er1 + er2 = 0,18

A questo punto possiamo ricavare la formula per calcolare l’errore assoluto invertendo quella per determinare l’errore relativo applicando il secondo principio di equivalenza:

  • er = ea / M;
    • ea = er ∙ M;

Ricaviamo l’area del rettangolo in base alla misura che sappiamo più attendibile e poi applichiamo la formula ricavata sopra per calcolare l’errore.

  • A = (7,5 ∙ 4,5) l2 = 33,75 l2 = 34 l2
    • ea = er ∙ A = 0,18 ∙ 34 l2 = 6,12 l2 = 6 l2

L’area del rettangolo ABCD è uguale a (34 ± 6) l2 ed è compreso tra 28 l2 e 40 l2.

Questo è dimostrato anche facendo la somma delle aree dei due rettangoli che rappresentano gli errori assoluti:

  • ACIJL = 7,5 l ∙ 0,5 l = 4 l2;
  • AADLK = 4,5 l ∙ 0,5 l = 2 l2;
  • ea = ACIJL + AADLK = 6 l2;
    • er = ea / AABCD = 6 l2 / 34 l2 = 0,18 ;

In questo modo possiamo determinare il margine di errore che abbiamo fatto. Ecco perché è importante avere uno strumento il più preciso possibile; infatti, in genere la sensibilità di uno strumento è un sottomultiplo della sua portata.

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