I numeri complessi possono essere scritti in modi diversi. Possono essere espressi in forma algebrica, chiamata anche forma cartesiana, come somma di monomi, in forma trigonometrica moltiplicando il modulo del numero con il la somma del coseno e dell’angolo formato dalla parte reale e immaginaria o in forma esponenziale come prodotto del modulo con la potenza del numero di Nepero elevato al prodotto dell’angolo con la parte immaginaria.
Iniziamo definendo i numeri complessi. Presi una coppia di reali il loro prodotto cartesiano forma un numero complesso.
\[ \mathbb{C} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 \] \[ \mathbb{C} = \{ (a,b) : a,b \in \mathbb{R} \} \] \[ \text{Ad esempio} \quad (4,3), (\sqrt{2}, 1), (-4, 1/x) \quad \text{sono tutti numeri complessi} \]Richiamiamo le operazioni di addizione e moltiplicazione di due numeri complessi: Presi due numeri complessi, ciascuno formato da una coppia di numeri reali, la somma dei due numeri è uguale a un numero complesso che ha come primo elemento la somma dei primi elementi e come secondo la somma dei secondi elementi delle due coppie.
Presi due numeri complessi, ciascuno formato da una coppia di numeri reali, il prodotto dei due numeri è uguale a un numero complesso che ha come primo elemento la differenza tra il prodotto dei primi elementi e il prodotto dei secondi elementi e come secondo elemento la somma tra il prodotto del primo elemento del primo numero complesso con il secondo elemento del secondo numero complesso e il prodotto del secondo elemento del primo numero complesso con il primo elemento del secondo numero complesso.
\[ (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) \] \[ (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) \]Possiamo scrivere un numero (x,0) come x definendo un funzione che ha come dominio i reali e codominio i numeri complessi iniettiva e suriettiva in questo modo: (x,0) = x. Inoltre, il quadrato dell’elemento neutro rispetto al prodotto (0,1) è -1. Questo numero complesso viene chiamato parte immaginaria e indicato con la lettera i. Perciò un numero (0,y) si può anche scrivere yi e un numero (x,y) si scrive in forma algebrica come x + yi.
Dato che i numeri complessi sono il prodotto cartesiano di numeri reali, possiamo effettivamente rappresentare ciascun numero come un punto del piano cartesiano (chiamato piano di Gauss) dove nell’asse delle ascisse c’è la parte reale e in quella delle ordinate la parte immaginaria.
Di conseguenza ciascun punto con l’origine degli assi cartesiani forma un angolo ed ha un modulo ottenuto dalla radice quadrata della somma dei quadrati della parte reale e immaginaria.
Conversione da una forma ad un’altra di un numero complesso
Avendo la forma cartesiana di un numero complesso, bisogna innanzitutto calcolare il modulo e il coefficiente angolare della retta passante per il punto ottenuto dalla parte reale e quella immaginaria. L’angolo si ottiene applicando l’arcotangente al coefficiente angolare. A quel punto la forma trigonometrica ed esponenziale risultano immediate.
\[ z = x + yi = r(\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta} \]Da forma cartesiana a quella esponenziale
Il modulo si ricava come abbiamo detto. Invece l’angolo dipende dalla parte reale: se essa è positiva allora basta calcolare l’arcotangente del coefficiente angolare. Altrimenti, se è minore di 0 dobbiamo sommare 180 gradi all’angolo trovato.
\[ r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \]Se \(x \lt 0\), allora bisogna aggiungere \(\pi\) all’angolo calcolato.
\[ \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi \quad \text{se } x \lt 0 \]Da forma esponenziale a quella algebrica
Ricordiamo che la parte reale di un numero complesso si trova nell’asse delle ascisse e corrisponde al coseno dell’angolo formato dalla retta che passa per quel numero e l’asse delle ascisse; mentre la parte immaginaria si trova nell’asse delle ordinate e corrisponde al seno di quell’angolo.
\[ x = |z| \cos \theta, \quad y = |z| \sin \theta \]Ricordando che nella parte immaginaria c’è anche i, possiamo unire le due formule e ottenere direttamente la forma algebrica raccogliendo il modulo o raggio:
\[ z = |z|e^{i\theta} = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) \]