Il coefficiente angolare di una retta

Il coefficiente angolare è una variabile che rappresenta la pendenza di una retta, cioè la sua inclinazione rispetto un asse orizzontale preso come riferimento. In matematica viene indicato con la lettera m e il suo valore viene ricavato calcolando il rapporto tra le coordinate di due o più punti di questa retta.

Per calcolare il coefficiente angolare di una retta si utilizza il piano cartesiano, un sistema di riferimento caratterizzato da due assi, uno verticale e l’altro orizzontale, che si incontrano in un punto chiamato origine e che dividono il piano in quattro parti, detti quadranti. Le coordinate di un punto sul piano cartesiano vengono calcolate in base alla distanza di questo punto rispetto a ciascun asse cartesiano. Un punto ha sempre una coordinata x che rappresenta la sua distanza rispetto l’asse verticale, definito ordinata, e una coordinata y che viene rappresentata dalla distanza di questo punto rispetto l’asse orizzontale, chiamato ascissa. Sugli assi cartesiani vengono tracciate delle linee graduate dove ciascun numero rappresenta un valore, come un righello.

Il rapporto tra la differenza delle ordinate di due punti di una retta con la differenza delle ascisse, permette di calcolare il suo coefficiente angolare, la sua pendenza. Due rette che hanno la stessa pendenza non si incontrano mai in nessun punto e vengono chiamate parallele. Il coefficiente angolare indica perciò di quanto aumenta l’ordinata se il valore dell’ascissa di un punto aumenta di 1. La pendenza viene espressa in percentuale e indica di quanto aumenta l’ordinata di un punto se la sua ascissa aumenta di 100. Ad esempio, se diciamo che una strada ha una pendenza del 10%, vuol dire che se su quella strada avanziamo di 100 metri saliremo 10 metri in più rispetto il livello del mare.

La formula del coefficiente angolare

Per conoscere la pendenza di una retta è necessario conoscere sempre le coordinate di almeno due punti. Infatti, in un punto del piano possiamo tracciare infinite rette con infinite pendenze, mentre su due punti può passare soltanto una retta. A questo punto calcoliamo il rapporto tra il valore assoluto della differenza delle ordinate dei due punti con la differenza dei valori delle loro ascisse. La formula per ricavare il coefficiente angolare è:

m = (y1 – y2) / (x1 – x2).

Una retta può anche passare per l’origine del piano cartesiano; conosciamo così le coordinate cartesiane di uno dei suoi punti, dato che l’origine degli assi ha il valore di 0 sia sull’asse orizzontale che su quello verticale. Conoscendo le coordinate di uno qualsiasi degli altri suoi punti, ci basterà calcolare il rapporto tra la sua ordinata con la sua ascissa:

m = (yp – yo) / (xp – xo) = (yp – 0) / (xp – 0) = yp / xp

Dimostrazione

L'immagine mostra un esempio di rette parallele nel piano cartesiano. Si può notare che hanno lo stesso coefficiente angolare

Un punto di una retta, chiamata r, che passa per l’origine ha coordinate x = 2 e y = 4. Una parallela di questa retta, chiamata s, dista da essa all’origine di 4 unità. Dobbiamo scrivere l’equazione di tale retta e quanto vale il valore dell’ascissa di un punto che ha come ascissa sempre il valore di 2.

Calcoliamo, innanzitutto il coefficiente angolare della prima retta, che sarà uguale alla seconda perché sono parallele. Scriviamo l’equazione di tale retta e anche della seconda, sapendo che al prodotto del coefficiente per l’ascissa dobbiamo aggiungere l’ordinata all’origine.

m = y/x = 4/2 = 2

yr=m ∙ xr

ys = m ∙ xs + q

ys = 2 ∙ 2 + 4 = 8

Un altro esempio è quello di una retta perpendicolare ad una già disegnata o stabilita. In questo caso, come mostra l’articolo sulle rette perpendicolari, il coefficiente angolare della seconda retta è la frazione inversa del coefficiente della prima retta con il segno opposto. Ad esempio, la retta perpendicolare a quella considerata sopra avrà il coefficiente uguale a -1/2.

L'illustrazione è legata alla relazione che c'è tra i coefficienti angolari di rette perpendicolari e ne mostra una rappresentazione grafica.

Su Geogebra, programma online per studiare e insegnare la geometria, è possibile disegnare delle rette sul piano cartesiano semplicemente scrivendo le loro equazioni. Dalla Home Page, si può cliccare sia su Geometria che su Geogebra Classico. Tra i vari comandi c’è il pulsante Slider, che apparirà nella sezione misure dopo avere cliccato sulla scritta Altro, in alla colonna dei comandi. Clicchiamo su qualsiasi punto dell’area di lavoro e al posto di a, gli diamo il nome m. Nel riquadro Incremento, possiamo indicare di quanto aumentare il coefficiente ogni volta che spostiamo il cursore dello slider o attiviamo l’animazione.

A questo punto, dopo aver chiuso il comando ed essere sicuri che la slider è visibile nell’area di lavoro, nella colonna a sinistra clicchiamo su Algebra e scriviamo due equazioni:

y = mx

y = – 1/m x

Noteremo che le due rette sono perpendicolari. Immaginiamo adesso di volere tracciare la perpendicolare alla prima retta nel suo punto di coordinate A(1;2). In questo caso noi abbiamo già tutti i valori che di solito si cercano: l’ascissa è uguale a 1, l’ordinata è uguale a 2 e il coefficiente angolare della perpendicolare è uguale a -1/2. Ciò che manca è la misura dell’ordinata all’origine che permette di costruire la retta su quel punto. Possiamo ricavare la formula tramite i principi di equivalenza e la somma di frazioni con denominatore diverso:

y = – 1/m x + q

y + 1/m x = q

q = y + 1/m x

q = 2 + 1/2 = (4+1)/2 = 5/2 = 2,5

Equazioni di rette passanti per un punto o per due punti

E’ possibile risalire all’equazione di una retta conoscendo soltanto le coordinate di uno dei suoi punti e il suo coefficiente angolare. Riprendiamo la formula vista all’inizio dell’articolo e consideriamo le coordinate generiche dell’equazione della retta e le coordinate di un punto, che chiamiamo P. Anche qui, utilizziamo i principi di equivalenza per ricavare l’ordinata della retta in base al valore della sua ascissa.

L'immagine mostra come si ricava la formula per ricavare l'ordinata di una retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto

Questa equazione è valida anche per tutte le infinite rette che passano per un punto del piano, un fascio proprio di rette con centro quel punto. Il variare del coefficiente angolare indicherà l’inclinazione e la pendenza della rispettiva retta.

La formula per calcolare l’equazione di una retta passante per due punti viene utilizzata anche per la progettazione delle scale. Una scala è formata da gradini la cui lunghezza vien chiamata pedata e la sua altezza viene chiamata alzata. Il loro punto di intersezione su ciascun gradino può essere considerato il punto di una retta su un piano cartesiano il cui coefficiente angolare corrisponde al rapporto tra alzata e pedata.

Prendiamo come esempio una scala la cui pedata è uguale a 31,5 cm e l’alzata è uguale a 17 cm. Il rapporto tra 17 e 31,5 è uguale a 0,54. Da questi dati possiamo ricavare la seguente equazione:

y = 0,54 (x – 31,5) + 17

y = 0,54x – 17 + 17

y = 0,54x

La seguente equazione vale nel caso la retta considerata passa per l’origine degli assi cartesiani. Nel caso in cui la distanza tra il primo gradino e l’origine degli assi sia maggiore della pedata della scala, scriveremo il valore dell’ascissa al posto di 31,5 in modo da ricavare l’ordinata all’origine. Poniamo come esempio un distanza di 50 cm.

y = 0,54 (x – 50) + 17

y = 0,54x – 27 + 17

y = 0,54x – 10

Prova a fare questo progetto utilizzando un quaderno o un programma per il disegno tecnico come Autocad. Puoi utilizzare anche il programma Geogebra per verificare la correttezza delle due equazioni.