Le funzioni pari e quelle dispari sono relazioni particolari dove il dominio è un insieme simmetrico e il codominio è il campo dei numeri reali che soddisfano determinate condizioni. Una funzione si dice pari se applicata all’opposto di un numero ottiene lo stesso risultato della stessa applicata sul numero. Si dice dispari se quando applicata all’opposto di un numero ritorna l’opposto della stessa funzione applicata a quel numero.
Un sottoinsieme del campo dei numeri reali si dice simmetrico se per ogni numero al suo interno contiene anche l’opposto. Ecco perché possiamo applicare le funzioni definite su di lui ad entrambi i numeri
\[ A \subset \mathbb{R} \text{ è simmetrico} \iff \forall x \in A \quad -x \in A \]Sia una funzione con dominio un insieme simmetrico e codominio il campo dei numeri reali, questa si dice pari se la funzione applicata su un numero del dominio è uguale alla funzione applicata sul suo opposto.
\[ f: A \to \mathbb{R} \text{ è pari} \iff A \text{ è simmetrico} \land \forall x \in A \quad f(-x) = f(x) \]Un esempio di funzione pari è f(x) = x2 dove per ogni numero il suo quadrato è uguale a quello del suo opposto.
Sia una funzione con dominio un insieme simmetrico e codominio il campo dei numeri reali, questa si dice dispari se la funzione applicata su un numero del dominio è uguale all’opposto della funzione applicata sul suo opposto.
\[ f: A \to \mathbb{R} \text{ è pari} \iff A \text{ è simmetrico} \land \forall x \in A \quad f(-x) = -f(x) \]Tutti i polinomi che hanno solo termini di grado pari sono funzioni pari mentre quelli che hanno solo termini di grado dispari sono funzioni dispari. Sapere che tipo di funzione stiamo studiando ci permette di semplificare calcoli e ragionamenti.