Questo testo si concentra sulla definizione rigorosa dell’insieme dei numeri naturali e delle loro operazioni binarie. Verranno definite e dimostrate anche le loro proprietà. Per una spiegazione più semplice dei numeri naturali leggi questo post.
L’insieme dei numeri naturali è un insieme di elementi che soddisfano alcune condizioni, o assiomi:
- L’insieme non è vuoto, esiste almeno un elemento che chiamiamo 0
- Definiamo una funzione che ha come dominio l’insieme e come codominio lo stesso insieme escluso lo 0, iniettiva che chiamiamo successore e che ha la sua inversa.
- Preso un sottoinsieme di questo insieme, se contiene lo 0 e se per ogni suo numero esiste il successivo, allora il sottoinsieme coincide con i numeri naturali
Definiamo anche il successivo di un numero sia come n+ che come n + 1.
Operazioni nell’insieme dei numeri naturali
Presi due numeri naturali qualsiasi, definiamo l’operazione binaria di addizione (ℕ,+) nel seguente modo:
- Se il primo numero è 0, la somma è uguale al secondo numero;
- Se i due numeri sono diversi da 0, allora definiamo la somma tra il successivo del primo numero con il secondo numero come il successivo della somma dei due numeri
Vediamo due esempi:
\[ 1 + 2 = 0^+ + 2 = (0 + 2)^+ = 2^+ = 3 \] \[ 2 + 3 = 1^+ + 3 = (1 + 3)^+ = 4^+ = 5 \]Per mezzo del principio di induzione, possiamo dimostrare che l’operazione di addizione nei numeri naturali gode della proprietà associativa, cioè presi tre numeri naturali la somma dei primi due con il terzo o la somma del primo con la somma degli altri due dà lo stesso risultato.
\[ (n + m) + p = n + (m + p) \quad \forall n,m,p \in \mathbb{N} \] \[ n = 0 \quad \Rightarrow \quad (0 + m) + p = m + p = 0 + (m + p) \] \[ n = n^+ \quad \Rightarrow \quad ((n^+) + m) + p = ((n + m)^+) + p = \] \[ ((n + m) + p)^+ = (n + (m + p))^+ = n^+ + (m + p) \]Per mezzo del principio di induzione e la proprietà associativa, possiamo dimostrare anche la proprietà commutativa.
\[ n + m = m + n \quad \forall n,m \in \mathbb{N} \] \[ n = 0 \quad \Rightarrow \quad 0 + m = m + 0 \] \[ n = n^+ \quad \Rightarrow \quad (n^+) + m = (n + m)^+ = \] \[ (m + n)^+ = m^+ + n = \] \[ (m + 1) + n = m + (1 + n) = m + (n^+) \]Dati due numeri naturali possiamo anche definire l’operazione di moltiplicazione come segue:
- Se il primo numero è 1 allora il loro prodotto è il secondo numero;
- Altrimenti definiamo il prodotto del successivo del primo numero con il secondo come la somma del prodotto dei due numeri con il secondo numero
Definiamo anche che il prodotto di un numero per 0 è sempre 0 e che se il prodotto di due numeri è uguale a 1 allora entrambi sono 1.
Esempi:
\[ 2 \cdot 3 = 1^+ \cdot 3 = (1 \cdot 3) + 3 = 3 + 3 = 6 \] \[ 3 \cdot 4 = 2^+ \cdot 4 = (2 \cdot 4) + 4 = 8 + 4 = 12 \]La moltiplicazione gode della proprietà distributiva. Il prodotto di un numero per la somma di altri due è uguale alla somma del suo prodotto con il primo dei due numeri con quello del secondo numero.
\[ n \cdot (m + p) = (n \cdot m) + (n \cdot p) \quad \forall n,m,p \in \mathbb{N} \] \[ n = 0 \quad \Rightarrow \quad 0 \cdot (m + p) = 0 = (0 \cdot m) + (0 \cdot p) \] \[ n = n^+ \quad \Rightarrow \quad (n^+) \cdot (m + p) = ((n \cdot (m + p)) + (m + p)) = \] \[ ((n \cdot m) + (n \cdot p)) + (m + p) = ((n \cdot m) + m) + ((n \cdot p) + p) = (n^+ \cdot m) + (n^+ \cdot p) \]Possiamo dimostrare che la moltiplicazione gode anche della proprietà associativa:
\[ (n \cdot m) \cdot k = n \cdot (m \cdot k) \quad \forall n,m,k \in \mathbb{N} \] \[ n = 0 \quad \Rightarrow \quad (0 \cdot m) \cdot k = 0 \cdot k = 0 = 0 \cdot (m \cdot k) \] \[ n = n^+ \quad \Rightarrow \quad ((n^+) \cdot m) \cdot k = ((n \cdot m) + m) \cdot k =\] \[((n \cdot m) \cdot k) + (m \cdot k) = (n \cdot (m \cdot k)) + (m \cdot k) = n^+ \cdot (m \cdot k) \]E di quella commutativa:
\[ n \cdot m = m \cdot n \quad \forall n,m \in \mathbb{N} \] \[ n = 0 \quad \Rightarrow \quad 0 \cdot m = m \cdot 0 \] \[ n = n^+ \quad \Rightarrow \quad (n^+) \cdot m = (n \cdot m) + m = (m \cdot n) + m = m \cdot (n^+) \]Possiamo anche definire l’ordine parziale nell’insieme dei numeri naturali come segue: presi due numeri naturali qualsiasi, il primo è minore del secondo se esiste un numero naturale tale che la sua somma con il primo numero è uguale al secondo.
\[ n,m \in \mathbb{N} \quad n \leq m \implies \exists k \in \mathbb{N}: \] \[ n + k = m \]Da qui seguono due teoremi: un numero è sempre minore del successivo e se un numero è minore del successivo di un altro allora è minore o uguale a lui:
Un numero naturale è minore del successivo e il secondo addendo è 1
\[ n \leq n^+ \quad \implies \exists k \in \mathbb{N}: n^+ + k = n + 1 \implies k = 1 \]Se un numero è minore del successivo di un altro, allora è minore o uguale al secondo.
\[ n \lt m^+ \quad \implies n \lt m + 1 \implies \] \[ \exists k \in \mathbb{N}: n + k = m + 1 \] \[ \implies \exists h \in \mathbb{N}: k = h^+ \] \[ n + h + 1 = m + 1 \implies n + h = m \implies n \leq m \]Da questo segue anche che non esistono numeri naturali compresi tra un numero naturale e il suo successivo perché proprio per la definizione di ordine, il tale numero sarebbe minore o uguale a quello dato, ma abbiamo detto per ipotesi che deve essere maggiore.
\[ \forall k \in \mathbb{N}; X_k = \{ n \in \mathbb{N} : k \lt n \lt k^+ \} = \emptyset \] \[ n \lt k^+ \quad \implies \quad n \leq k \quad \implies \] \[ k \lt n \leq k \quad \implies k \lt k \quad \text{contraddizione} \]In realtà l’ordinamento dei numeri naturali non è soltanto parziale ma è un buon ordinamento. Si tratta perciò di un ordinamento totale.