Le disequazioni di secondo grado sono delle espressioni algebriche che contengono una variabile, chiamata incognita, elevata al quadrato. A differenza delle equazioni di secondo grado, il cui scopo è di verificare che le due espressioni confrontate diano lo stesso risultato, in questo caso dobbiamo dimostrare tutto il resto, cioè in quali casi la prima espressione è maggiore, maggiore o uguale, minore oppure minore o uguale alla seconda. Ridotta in forma normale si scrive in uno di questi modi:
ax2 + bx + c ≤ 0
ax2 + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c < 0
Come si risolvono le disequazioni di secondo grado
Vediamo un semplice esempio usando una disequazione già ridotta in forma normale. Per la riduzione si applicano le stesse regole delle equazioni e questo vale anche per quelle fratte.
x2 – 5x + 6 > 0
Questo tipo di disequazioni si possono risolvere in diversi modi, ma il più comune è quello di ridurle a una forma canonica e poi studiare il segno della funzione associata. Possiamo farlo creando un sistema dove il primo membro è uguale ad una nuova incognita y; stabiliamo anche che y deve essere maggiore di 0.
y = x2 – 5x + 6
y > 0
Per ridurre una disequazione di secondo grado a una forma canonica, dobbiamo prima trovare le sue radici, cioè i valori di x che la rendono uguale a zero. Per farlo possiamo usare la formula risolutiva:
dove a, b e c sono i coefficienti della disequazione. Nel nostro esempio riportato sopra abbiamo:
- a = 1
- b = -5
- c = 6
Sostituendo questi valori nella formula otteniamo x1 = 3 e x2 = 2 come mostrato in figura:
Quindi le radici della nostra disequazione sono x1 = 3 e x2 = 2. In questi casi y non è maggiore di 0. Possiamo notare che il valore più piccolo è 2 mentre il maggiore è 3. Questo significa che se rappresentassimo l’equazione in un piano cartesiano il valore di y sarebbe negativo se il valore di x fosse nell’intervallo tra 2 e 3.
Possiamo capire subito l’andamento della parabola conoscendo il valore del discriminante, b2 – 4ac, nella condizione che a è maggiore di 0. Ovviamente, qualora il parametro a fosse negativo, basterebbe cambiare il segno a tutti i membri della disequazione:
- Se ∆ è maggiore di 0, allora la disequazione risulta maggiore di 0 quando l’incognita è minore del valore più piccolo e maggiore di quello più grande; risulta minore di 0 se è compreso tra i due valori;
- Se ∆ è uguale a 0, la disequazione è sempre maggiore di 0 tranne quando l’incognita è uguale a -b/2a come mostra l’articolo sulla formula risolutiva.
- Se ∆ è minore di 0, la disequazione è sempre maggiore di 0 mai minore.
Puoi sperimentare i diversi casi, nel mio progetto su Geogebra.
