Equazioni di secondo grado

Le equazioni di secondo grado sono un tipo di equazione dove l’incognita ha il grado massimo di 2, cioè viene elevata alla potenza al quadrato. Ridotta in forma normale, questo tipo di uguaglianza viene espressa come ax² + bx + c = 0, dove il coefficiente dell’incognita elevata al quadrato deve essere diverso da 0.

Le equazioni, in generale, sono una forma scritta di uguaglianza tra due espressioni dove figurano numeri e almeno una lettera che deve rappresentare il valore incognito da calcolare. Tramite i principi di equivalenza, è possibile spostare i termini da un lato all’altro, sommarli o cancellarli in modo da essere in grado di ricavare la formula per risolvere quella determinata equazione. Un’equazione risulta verificata quando abbiamo trovato quel valore dell’incognita che rende uguali i risultati delle due espressioni algebriche.

Un’equazione si dice ridotta in forma normale quando ogni incognita e il termine noto, composto soltanto da un numero e senza lettere, figurano soltanto una volta. Per ridurre un’equazione in forma normale bisogna applicare le regole relative i monomi e i polinomi e nei casi più difficili sapere operare con le frazioni, le potenze e i radicali. E’ necessario sapere risolvere le equazioni di primo grado, dette lineari, e risulta utile avere già praticità con i sistemi lineari.

Risolvere le equazioni di secondo grado

Dato che la radice quadrata di un numero ha sempre due soluzioni, due numeri interi discordi che hanno lo stesso valore assoluto, il numero, ma il segno opposto, anche le equazioni di secondo grado hanno sempre due soluzioni. Inoltre un’equazione si può presentare incompleta quando mancano alcuni termini.

Nel caso in un’equazione ridotta in forma normale figura soltanto l’incognita di secondo grado, il risultato sarà sempre 0, dato che x² = 0. Questo tipo di equazione viene definita monomia, perché appare soltanto un monomio. Inoltre, questo è l’unico caso in cui la soluzione ha soltanto un valore.

Quando il termine incognito di primo grado non appare in nessun membro si parla di equazione pura. In questo caso, dopo avere portato il termine noto nel membro a destra, risulta immediato ricavare le due soluzioni, che derivano dalla radice quadrata del termine noto.

In questo caso le soluzioni dipendono dal rapporto tra il termine noto e il coefficiente dell’incognita: se questo è positivo basta ricavare la sua radice quadrata, ma se il rapporto è negativo il radicando della radice quadrata è negativa e questo è impossibile. 

L’ultimo caso riguarda le equazioni spurie, dove il termine noto non figura in nessun membro. Anche in questo caso ci sono due soluzioni: uno è 0 perché la somma dei due termini fa sempre 0.

ax² + bx = 0

La seconda soluzione si ottiene raccogliendo il fattore comune delle due incognite e isolando la scomposizione ottenuta.

Un’equazione spuria ha sempre due soluzioni: 0 e l’opposto del rapporto tra il coefficiente dell’incognita di primo grado con il coefficiente dell’incognita di secondo grado.

Equazione completa

Nel caso di un’equazione di secondo grado completa, possiamo ricavare la formula per trovare i valori dell’incognita applicando le regole precedenti, il quadrato del binomio e la somma delle frazioni. Dobbiamo anche ricordare che il risultato dell’espressione a sinistra deve essere uguale a quella di destra.

Iniziamo con ridurre il coefficiente dell’incognita di secondo grado a 1, applicando il secondo principio di equivalenza:

Il secondo passaggio consiste nel rendere il primo e il secondo membro dei quadrati equivalenti. Per fare ciò, bisogna procedere in maniera inversa alla scomposizione dei polinomi. Tramutiamo il termine di primo grado come il doppio prodotto di un quadrato di binomio e consideriamo il suo coefficiente come il secondo monomio di questo quadrato. Per il primo principio di equivalenza il nuovo termine va aggiunto anche al secondo membro, affinché l’equazione abbia lo stesso risultato della prima.

Infine, ricaviamo la formula risolutiva applicando:

• La radice di potenze;
• Il primo principio di equivalenza;
• La somma di frazioni che hanno lo stesso denominatore

L’espressione b²– 4ac viene chiamato discriminante e viene indicato con il simbolo Δ perché dal suo risultato dipende la soluzione dell’equazione di secondo grado. Se risulta uguale a 0, l’incognita sarà uguale all’opposto del rapporto tra il coefficiente dell’incognita di primo grado con il doppio del primo coefficiente. 

Se il determinante è minore di 0, il radicale è impossibile da risolvere dato che qualsiasi numero elevato al quadrato è sempre positivo. Se, invece, è maggiore di 0, si applica la formula risolutiva nella sua interezza.

Formula ridotta

Nel caso in cui il coefficiente del termine incognito di primo grado fosse divisibile per 2, possiamo applicare la formula ridotta. Questa si ricava dimezzando tutti i termini all’interno dell’equazione di secondo grado completa e ridotta in forma normale.

Perciò, il metodo per risolvere un’equazione di secondo grado è il seguente: 

• Ridurlo in forma normale, eseguendo tutte le operazioni conosciute e i principi di equivalenza; 
• Se il coefficiente dell’incognita di primo grado non è divisibile per 2, ricavare il discriminante e poi applicare la formula risolutiva; oppure applicare direttamente la formula risolutiva e ricavare il discriminante al suo interno; 
• Se il coefficiente dell’incognita di primo grado è divisibile per 2, ricavare un quarto del discriminante e poi applicare la formula ridotta; oppure applicare direttamente la formula ridotta. 

Equazioni di secondo grado fratte e letterali

Proprio come nelle equazioni di primo grado fratte, bisogna scrivere le condizioni di esistenza in modo che l’incognita non annulli il denominatore e renda impossibile l’equazione. 

Il secondo passaggio consiste nel ridurre i termini dell’equazione allo stesso denominatore e applicare il secondo principio di equivalenza. Infine, si riduce l’equazione in forma normale e si applica la formula risolutiva. 

Se l’equazione è letterale, dobbiamo considerare anche i parametri delle incognite. Innanzitutto, l’equazione va ridotta in forma normale. Poi dobbiamo tenere conto dei seguenti fattori: 

• Se il coefficiente dell’incognita di secondo grado, indicato con A, è uguale a 0, l’incognita viene annullata, l’equazione diventa di primo grado e possiamo ricavare velocemente il valore dell’incognita in questo caso. 
• Se il coefficiente A è diverso da 0 ricaviamo il discriminante e facciamo le considerazioni mostrate sopra e risolviamo l’equazione con la formula risolutiva; 

In genere, le soluzioni saranno 3: la prima nel caso in cui l’equazione diventa lineare, le altre nel caso abbiamo l’equazione completa o incompleta. 

Quando abbiamo equazioni fratte e letterali insieme, prima poniamo le condizioni di esistenza per il denominatore, poi riduciamo l’equazione in forma normale e infine risolviamo l’equazione tenendo conto dei parametri.