Equazioni di secondo grado

Le equazioni di secondo grado sono un tipo di equazione dove l’incognita ha il grado massimo di 2, cioè viene elevata alla potenza al quadrato. Ridotta in forma normale, questo tipo di uguaglianza viene espressa come ax2 + bx + c = 0, dove il coefficiente dell’incognita elevata al quadrato deve essere diverso da 0.

Le equazioni, in generale, sono una forma scritta di uguaglianza tra due espressioni dove figurano numeri e almeno una lettera che deve rappresentare il valore incognito da calcolare. Tramite i principi di equivalenza, è possibile spostare i termini da un lato all’altro, sommarli o cancellarli in modo da essere in grado di ricavare la formula per risolvere quella determinata equazione. Un’equazione risulta verificata quando abbiamo trovato quel valore dell’incognita che rende uguali i risultati delle due espressioni algebriche.

Un’equazione si dice ridotta in forma normale quando ogni incognita e il termine noto, composto soltanto da un numero e senza lettere, figurano soltanto una volta. Per ridurre un’equazione in forma normale bisogna applicare le regole relative i monomi e i polinomi e nei casi più difficili sapere operare con le frazioni, le potenze e i radicali. E’ necessario sapere risolvere le equazioni di primo grado, dette lineari, e risulta utile avere già praticità con i sistemi lineari.

Risolvere le equazioni di secondo grado

Dato che la radice quadrata di un numero ha sempre due soluzioni, due numeri interi discordi che hanno lo stesso valore assoluto, il numero, ma il segno opposto, anche le equazioni di secondo grado hanno sempre due soluzioni. Inoltre un’equazione si può presentare incompleta quando mancano alcuni termini.

Nel caso in un’equazione ridotta in forma normale figura soltanto l’incognita di secondo grado, il risultato sarà sempre 0, dato che x2 = 0. Questo tipo di equazione viene definita monomia, perché appare soltanto un monomio. Inoltre, questo è l’unico caso in cui la soluzione ha soltanto un valore.

Quando il termine incognito di primo grado non appare in nessun membro si parla di equazione pura. In questo caso, dopo avere portato il termine noto nel membro a destra, risulta immediato ricavare le due soluzioni, che derivano dalla radice quadrata del termine noto:

ax2 + c = 0

ax2 = – c

x2 = – c/a

se x2 = – c/a > 0 -> x = ±√(- c/a)

se x2 = – c/a < 0 -> impossibile

Dai passaggi sopra possiamo notare che se l’opposto del rapporto tra il termine noto e il coefficiente dell’incognita di secondo grado è un numero positivo perché è maggiore di 0, allora basta ricavare la radice quadrata di tale rapporto per trovare le due soluzioni dell’equazione. Ma se il rapporto tra i due termini è un numero negativo, l’equazione è impossibile perché non esiste la radice quadrata di un numero negativo.

L’ultimo caso riguarda le equazioni spurie, dove il termine noto non figura in nessun membro. Anche in questo caso ci sono due soluzioni: uno è 0 perché la somma dei due termini fa sempre 0.

ax2 + bx = 0

La seconda soluzione si ottiene raccogliendo il fattore comune delle due incognite e isolando la scomposizione ottenuta:

x(ax + b) = 0

x = 0

ax + b = 0; x = – a/b

Un’equazione spuria ha sempre due soluzioni: 0 e l’opposto del rapporto tra il coefficiente dell’incognita di secondo grado con il coefficiente dell’incognita di primo grado.

x1 = 0; x2 = – a/b

Equazione completa

Nel caso di un’equazione di secondo grado completa, possiamo ricavare la formula per trovare i valori dell’incognita applicando le regole precedenti, il quadrato del binomio e la somma delle frazioni. Dobbiamo anche ricordare che il risultato dell’espressione a sinistra deve essere uguale a quella di destra.

Iniziamo con ridurre il coefficiente dell’incognita di secondo grado a 1, applicando il secondo principio di equivalenza:

Nell'immagine c'è la prima parte della dimostrazione della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete

Il secondo passaggio consiste nel rendere il primo e il secondo membro dei quadrati equivalenti. Per fare ciò, bisogna procedere in maniera inversa alla scomposizione dei polinomi. Tramutiamo il termine di primo grado come il doppio prodotto di un quadrato di binomio e consideriamo il suo coefficiente come il secondo monomio di questo quadrato. Per il primo principio di equivalenza il nuovo termine va aggiunto anche al secondo membro, affinché l’equazione abbia lo stesso risultato della prima.

Nell'immagine c'è la seconda parte della dimostrazione della formula risolutiva

Infine, ricaviamo la formula risolutiva applicando:

  • La radice di potenze;
  • Il primo principio di equivalenza;
  • La somma di frazioni che hanno lo stesso denominatore
Nell'immagine c'è la terza parte della dimostrazione della formula risolutiva

√(b2 – 4ac) viene chiamato determinante, perché dal suo risultato dipende la soluzione dell’equazione di secondo grado. Se risulta uguale a 0, anche il suo rapporto con il doppio del coefficiente del primo termine risulterà 0 e l’incognita sarà uguale all’opposto del rapporto tra il coefficiente dell’incognita di primo grado e con il doppio del primo coefficiente.

Se il determinante è minore di 0, l’incognita sarà uguale al rapporto tra la differenza dell’opposto del secondo coefficiente con il determinante e il doppio del primo coefficiente. Se, invece, è maggiore di 0, l’incognita sarà uguale al rapporto tra la somma dell’opposto del secondo coefficiente con il determinante e il doppio del primo coefficiente.