I radicali

I radicali

I radicali sono un tipo di espressione matematica espressa come numero intero all’interno di radici quadrate, cubiche o qualsiasi altro tipo di radice. Il numero racchiuso all’interno della radice viene chiamato indice del radicale mentre l’esponente indicato in alto a sinistra della radice è il radicando.

Risolvere un radicale significa trovare quel numero che elevato a potenza con esponente il radicando dà come risultato l’indice della radice. Quando il radicando è uguale a 1, la radice di un numero non viene scritta perché viene rappresentata dal numero stesso. Infatti ciascun numero elevato a 1 è sempre uguale a se stesso.

Le radici quadrate possono essere scritte sia avendo il numero 2 indicato all’esterno della radice sia lasciandolo sottointeso come √2, √3, √25 e √500. In questo sito l’indice della radice potrebbe essere scritto tra parentesi in modo da non creare confusione nel caso di espressioni matematiche.

Dato che qualsiasi numero elevato a due dà come prodotto un numero positivo, a motivo della regola dei segni, le radici quadrate sono possibili soltanto se il radicando è maggiore o uguale a 0. La stessa cosa vale quando l’indice di una radice è un multiplo di 2, un numero pari. Per le radici cubiche e per tutte quelle dove l’indice è un numero dispari, i radicali sono sempre risolvibili.

Proprietà dei radicali

Una proprietà molto importante e che ci permette di risolvere i problemi con i radicali è che nel caso di radici con esponente dispari, il segno meno può stare fuori o dentro la radice.

segno dentro o fuori radice

I radicali godono della proprietà invariantiva secondo cui moltiplicando l’esponente del radicando e l’indice della radice per uno stesso numero naturale diverso da 0 si ottiene una radice equivalente, che dà lo stesso risultato.

Proprietà invariantiva dei radicali

Vediamone la dimostrazione, eliminando le radici elevandole a potenza con esponente il loro stesso indice.

dimostrazione proprietà invariantiva radicali

Questa proprietà ci permette di semplificare una radice, ricavando i fattori comuni dei due esponenti e tagliando i numeri uguali. E’ possibile verificarlo con una calcolatrice o su un foglio elettronico.

dimostrazione semplificazione radici

Inoltre, la proprietà invariantiva ci permette di ridurre due o più radici allo stesso indice. In questo modo, possiamo considerare i radicali come fossero dei monomi e applicare le stesse regole riguardo la somma algebrica e la moltiplicazione.

Per ridurre le radici dobbiamo ricavare il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei loro indici, il quale diventerà il nuovo indice dei radicali. Per ricavare l’esponente dei radicandi dobbiamo applicare all’inverso la proprietà invariantiva, dividendo il m.c.m. con ciascun indice e moltiplicare il quoziente ottenuto con l’esponente del relativo radicando.

riduzione allo stesso indice

Nell’esempio riportato sopra possiamo notare che le due radici non sono simili, in quanto hanno lo stesso indice ma radicandi diversi. Pertanto, non possiamo applicare il prodotto dei monomi ma piuttosto possiamo sommare i radicandi applicando il prodotto di potenze che hanno la stessa base. Lo stesso vale nel caso delle divisioni, delle addizioni e delle sottrazioni.

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