La regola dei segni

La regola dei segni

La regola dei segni viene usata e applicata nelle moltiplicazioni tra numeri interi, cioè preceduti da un segno + o da un segno -, ed è una regola che serve a stabilire quale segno deve avere il loro prodotto.

La moltiplicazione tra numeri interi avviene allo stesso modo dei numeri naturali, cioè basta fare il prodotto dei loro valori assoluti, i numeri presi senza segno. Tuttavia, per capire quale segno assegnare al prodotto bisogna considerare i segni che hanno i fattori.

In parole semplici, quando due numeri hanno lo stesso segno il loro prodotto avrà sempre segno positivo mentre se hanno segno diverso il loro prodotto sarà sempre un numero intero negativo.

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Dimostrazione della regola dei segni

Per quale motivo questa regola è sempre valida? La moltiplicazione di un numero intero consiste nella somma ripetuta dello stesso numero tante volte quanto vale il secondo fattore. Scrivendo 2 ∙ 3 stiamo dicendo che dobbiamo sommare 2 tre volte oppure 3 due volte. In entrambi i casi il risultato sarà sempre 6, come indica la proprietà commutativa della moltiplicazione.

Quando moltiplichiamo un numero negativo con un numero positivo, lo stiamo sommando con se stesso tante volte quanto indica il secondo fattore. Scrivendo (-2) ∙ 3 stiamo facendo in effetti una somma algebrica:

(-2) ∙ 3 = (-2) (-2) (-2) = -6

Pertanto, quando due numeri sono discordi, ovvero hanno segni diversi, il loro prodotto avrà sempre segno negativo.

Ma perché il prodotto di due numeri negativi è di segno positivo? Consideriamo questa espressione:

(a – a)(-b) = 0

Dato che a – a è uguale a 0 è ovvio che il prodotto tra la loro differenza e qualsiasi altro numero è uguale a 0. Applichiamo però la proprietà distributiva della moltiplicazione:

(a – a)(-b) = 0

a(-b) – a(-b) = 0

Il primo prodotto dell’espressione avrà segno positivo come dimostrato sopra ma dato che l’intera somma deve essere uguale a 0, il secondo prodotto deve essere l’opposto del primo, cioè deve per forza avere segno positivo.

a(-b) – a(-b) = 0

-ab – a(-b) = 0

Possiamo dimostrarlo applicando all’equazione la regola del trasporto:

-ab = +a(-b)

Possiamo dunque affermare la regola dei segni secondo cui il prodotto tra due numeri con segni uguali è sempre positivo mentre se ha segni diversi è sempre negativo. Nel caso in cui ci siano moltiplicazioni con più di due fattori, bisogna fare un calcolo alla volta.

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