Le frazioni algebriche sono delle divisioni che non hanno come risultato un numero intero dove al denominatore, o al divisore, c’è sempre almeno un’operazione algebrica dove figurano una o più lettere. Alcuni esempi sono 2/a oppure (5 + x) / (4 – y).
Dato che le frazioni sono divisioni, è chiaro che ci sono situazioni in cui questa operazione sarebbe impossibile da risolvere. Questo succede quando il divisore è zero. Infatti 2:0, 3:0 100:0, 0:0 sono tutte divisioni impossibili. Dato che il denominatore di una frazione coincide con il divisore, nel caso che ci sono operazioni al denominatore il cui risultato finale è 0, la frazione è impossibile. Nel caso di frazioni algebriche, ci sono dei valori che sostituiti alla variabile rendono impossibili le divisioni.
Si determinano, quindi, le condizioni di esistenza (C.E.), cioè un insieme di valori che possono sostituire le lettere senza annullare l’intera frazione. Ad esempio 2/a non darebbe nessun risultato valido se al posto di a inseriamo 0. Quindi scriviamo come C.E: a ≠ 0.
In genere, quando si risolvono espressioni o equazioni che hanno delle frazioni algebriche si cercano e si scartano i valori che non soddisfano le condizioni di esistenza. Quando due frazioni algebriche diverse hanno le stesse condizioni di esistenza e otteniamo da esse gli stessi risultati sostituendo alle lettere gli stessi valori, queste si dicono equivalenti.
Le operazioni delle frazioni algebriche
Come tutte le altre frazioni, anche quelle algebriche possono essere sommate o moltiplicate tra di loro. In algebra, le operazioni di addizione e sottrazione sono raggruppate insieme nella somma algebrica nel quale tra due numeri di segno opposto si sceglie il segno del numero maggiore e come valore numerico si fa la differenza tra il numero maggiore e quello minore. La stessa cosa vale per questo tipo di frazioni.
Se due frazioni algebriche hanno lo stesso denominatore, basta sommare i numeratori e lasciare il denominatore tale e quale. Se hanno denominatori diversi, bisogna innanzitutto scomporre i polinomi che si trovano al denominatore, trovare il loro minimo comune multiplo e procedere come si fa nelle frazioni normali. Il minimo comune multiplo sarà il denominatore del risultato mentre al numeratore si fa la somma tra ciascun prodotto ottenuto dividendo il mcm con il denominatore degli addendi moltiplicato per ciascun numeratore.
Per moltiplicare due frazioni basta trovare il prodotto tra i numeratori e i denominatori. Anche le frazioni algebriche possono essere semplificate ma in questo caso è conveniente scomporre prima i polinomi in fattori. Possiamo semplificare soltanto i fattori comuni tra numeratore e denominatore. Ad esempio, se abbiamo a+1 al numeratore e a – 1 al denominatore, non possiamo cancellare la lettera a, perché ciascuna somma rappresenta uno specifico polinomio.
Anche le potenze funzionano allo stesso modo, elevando ciascun membro della frazione per l’esponente indicato. Per fare la divisione tra due frazioni algebriche basta moltiplicare la prima per l’inverso della seconda, proprio come per tutti gli altri tipi di frazioni.
