In algebra una matrice è un insieme di numeri ordinati in righe e colonne. La definizione rigorosa è questa: dato un campo qualsiasi e due numeri relativi positivi, e presi due insiemi contenenti rispettivamente tutti i numeri relativi compresi tra 1 e il numero scelto, la matrice con tante righe quante il primo numero scelto e tante colonne quante il secondo numero scelto è una funzione che presi due elementi degli insiemi ritorna un numero del campo.
Un campo è un insieme di numeri a cui vengono associati le operazioni tra due elementi qualsiasi dell’insieme di addizione e di moltiplicazione e che devono godere di queste proprietà:
- L’operazione di addizione deve essere commutativa, bisogna ottenere lo stesso risultato anche scambiando i due numeri di posizione; L’operazione di moltiplicazione deve godere della proprietà commutativa, associativa e distributiva rispetto l’addizione;
- Entrambe le operazioni devono avere il loro elemento neutro: 0 per l’addizione e 1 per la moltiplicazione. Tutti gli elementi non nulli devono essere invertibili anche rispetto la moltiplicazione.
I numeri reali e i numeri complessi sono entrambi dei campi perché godono di tutte queste proprietà e caratteristiche. Presi dunque un campo K, due numeri relativi n ed m, entrambi maggiori di 0. Presi l’insieme I = { t ∈ ℤ | 1 ≤ t ≤ m} e l’insieme J = { t ∈ ℤ | 1 ≤ t ≤ n}, chiamiamo matrice con m righe ed n colonne nel campo K, una funzione: I x J -> K.
Inoltre, noi definiamo l’insieme di tutte le matrici con m righe ed n colonne ad elementi in K con il simbolo Km,n. Ad esempio scriviamo una matrice con 2 righe e 3 colonne in questo modo:
Quando diciamo che la matrice è una funzione è perché indicando una riga e una colonna, possiamo accedere al valore conservato nella matrice. Così l’elemento a13 è uguale a 3. Un’altra definizione della posizione di un elemento è il simbolo entij(M).
Operazioni tra matrici
Prese due matrici dello stesso campo con lo stesso numero di righe e di colonne, definiamo la somma tra le due matrici come la somma dei loro rispettivi elementi nella medesima posizione: entij(A+B) = entij(A) + entij(B). Ecco un esempio:
Dato che per sommare due matrici dobbiamo sommare gli elementi del campo contenuti in essi, valgono tutte le proprietà dell’addizione del campo. Inoltre, gli elementi del campo vengono chiamati scalari.
Possiamo moltiplicare una matrice per uno scalare, un numero qualsiasi del campo, anche non contenuto nella matrice. Presa una matrice e uno scalare, definiamo il prodotto scalare della matrice come il prodotto dello scalare per ogni elemento della matrice.
Anche in questo caso stiamo in realtà moltiplicando degli elementi del campo, perciò valgono tutte le proprietà della moltiplicazione.
Infine vediamo il prodotto tra due matrici: la condizione è che il numero di colonne della seconda matrice sia uguale al numero di righe della prima. Otteniamo così un matrice che ha lo stesso numero di righe della prima e lo stesso numero di colonne della seconda.
Ciascun elemento della matrice prodotto è ottenuto dalla sommatoria dei prodotti di tutti gli elementi della stessa riga della prima matrice e i rispettivi elementi della medesima colonna della seconda matrice rispetto alla matrice prodotto.
Ecco due esempi:
Anche in questo caso valgono le proprietà della moltiplicazione menzionate finora.