Tra i vari tipi di relazione di un insieme, cioè il sottoinsieme che per ogni elemento dell’insieme raccoglie tutte le coppie ordinate dove l’elemento può essere associato ad altri elementi secondo una specifica condizione, ci sono le relazioni di ordine. Possono esserci più di una relazione di ordine parziale all’interno di un insieme quando ciascuno viene applicato soltanto ad un suo sottoinsieme, oppure può essercene una totale quando possiamo applicarla a tutti gli elementi dell’insieme. Si dice in questo caso che tutti gli elementi si possono confrontare.
Per capire bene questo argomento è necessario conoscere già cosa intendiamo per insiemi e cosa è una relazione di equivalenza. Infatti, una relazione può essere a ordine parziale se e solo se è anche:
- Riflessiva, quando un elemento può essere messo in relazione con se stesso,
- Antisimmetrica, che avviene quando presi due elementi qualsiasi di un insieme con il primo in relazione con il secondo e il secondo in relazione con il primo, i due elementi sono uguali, cioè abbiamo lo stesso elemento.
- Transitiva, quando presi tre elementi qualsiasi in un insieme con il primo in relazione con il secondo e il secondo in relazione con il terzo avviene che anche il primo è in relazione con l’ultimo.
Definizione e simboli
Quando definiamo un qualche tipo di relazione all’interno di un insieme stiamo definendo un’operazione binaria, cioè un’operazione valida su due qualsiasi elementi di quell’insieme. Indichiamo un’operazione binaria inserendo tra parentesi tonde il simbolo dell’insieme e quello della relazione. Ad esempio, quando definiamo nell’insieme dei numeri naturali l’operazione di addizione scriviamo (ℕ,+).
Definiamo quindi all’interno di un insieme A l’operazione di ordinamento parziale. Così (A,≤) è un insieme parzialmente ordinato. Il simbolo introdotto applicato a due elementi dell’insieme indica che il primo è minore o uguale al secondo. ∀a,b ∈ A: a ≤ b.
Cosa significa? Essenzialmente che presi due elementi qualsiasi diversi nell’insieme A potrebbe capitare che il primo non è minore o uguale al secondo e il secondo non è maggiore o uguale al primo: ∃a,b ∈ A: a ≠ b ⋀ a ≰ b b ⋀ ≱ a.
Prendiamo come esempio l’insieme A = { 2,4,6,9 } e definiamo la relazione binaria in base alla condizione che il secondo elemento è divisibile per il primo. Si chiama relazione di ordine parziale di divisibilità e si indica con in simboli: (A,≤d) = { (a,b) ∈ A : b % a = 0 } = { (2,2), (4,4), (6,6), (9,9)(2,4), (2,6) }. Questa relazione è un ordine parziale perché soddisfa le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva.
Notiamo perciò che non tutti i numeri possono essere messi in relazione. I numeri 2,4,6 non dividono il 9 e neppure il 9 divide gli altri. Inoltre, 6 non è divisibile per 4. Perciò non abbiamo un ordine totale.
A partire dal concetto di ordinamento parziale, possiamo stabilire anche quando due elementi di un insieme sono uguali o quando un elemento è maggiore dell’altro. Definiamo così i simboli ≥ e = che sono simboli secondari e che dipendono dal primo.
Possiamo dire che se presi due elementi dove il primo è minore o uguale all’altro, il secondo è maggiore del primo. Vale anche al contrario. Inoltre se un elemento è minore o uguale al secondo e il secondo è minore o uguale al primo, allora sono lo stesso elemento.
Che dire quando un elemento è minore o uguale a un altro e questi sono diversi? Allora si dice che un elemento è minore stretto del secondo e si usa il simbolo <. Diremo anche che il secondo è maggiore stretto del primo e useremo il simbolo >.