Presi uno spazio vettoriale su un campo finitamente generato, presi un insieme libero e un insieme di generatori finito dello spazio, per il lemma di Steinitz la cardinalità, il numero di elementi, dell’insieme libero è minore o uguale a quello dei generatori.
Per capire questo teorema bisogna prima conoscere queste definizioni:
- Uno spazio vettoriale su un campo è un gruppo abeliano a cui viene definita un’operazione di prodotto con gli elementi di un campo;
- Un insieme libero è un sottoinsieme dello spazio vettoriale formato da vettori che non sono dipendenti tra loro, cioè nessuno di loro è il risultato di una combinazione lineare di altri;
- Un insieme di generatori è un insieme libero i cui elementi combinati tra loro forma tutto lo spazio vettorial;
Per dimostrarlo basta prendere un elemento dell’insieme libero; dato che l’insieme di generatori è la base dello spazio, anche ogni elemento dell’insieme libero è ottenuto da una delle combinazioni lineari degli elementi dello spazio e qui è linearmente dipendente con quei vettori. Se lo aggiungessimo alla base dobbiamo per forza scartare almeno un vettore con cui è dipendente affinché il sottoinsieme sia anche un insieme di generatori. Ripetendo il procedimento, cioè togliendo elementi dall’insieme libero per inserirli nella base otteniamo che i due sottoinsiemi hanno lo stesso numero di vettori. Cioè inserendo tutti gli elementi dell’insieme libero alla base, quest’ultima conterrà esattamente soltanto gli elementi dell’insieme libero.
\[ \text{Sia} \quad L = \{u_1, \dots, u_n\} \quad \text{un insieme libero} \]\[ e \quad G = \{v_1, \dots, v_m\} \quad \text{un insieme di generatori}. \] \[ \text{Consideriamo la lista } (u_1, v_1, \dots, v_m). \] \[ u_1 \in \mathcal{L}(G) \;\Rightarrow\; (u_1, v_1, \dots, v_m) \text{ è lin. dipendente}. \] \[ \text{Scartiamo uno dei } v_j \text{ e otteniamo ancora un insieme di generatori}. \] \[ \text{Ripetiamo con } u_2, \dots, u_n. \] \[ \Rightarrow\; n \le m. \]Da questo lemma concludiamo che prese due basi dello spazio vettoriale, questi hanno lo stesso numero di elementi. Infatti, se ad una delle due togliamo elementi che ineriamo nell’altro, verrà scartato uno dei vettori con cui è dipendente. In poche parole, è come se considerassimo una delle due basi un insieme libero e l’altra l’insieme di generatori.
Quindi per generare uno spazio vettoriale serve esattamente un certo numero di elementi, non uno di più, non uno di meno. Il numero di elementi di una base viene chiamato anche dimensione dello spazio vettoriale e si usa il simbolo:
\[ dim_{k}V, \quad k \in K \quad e \quad v \in V \]