Il Massimo Comune Divisore (MCD): cos’è e come si calcola

Il Massimo Comune Divisore (MCD): cos’è e come si calcola

Il Massimo Comune Divisore, chiamato anche M.C.D. consiste nel trovare il più grande numero che divide due o più numeri. Questa operazione permette di semplificare calcoli ed espressioni complesse.

Quando dobbiamo trovare il Massimo Comune Divisore dobbiamo innanzitutto scomporre i due numeri in fattori e trovare ricavare quelli che hanno in comune. Vogliamo trovare il Massimo Comune Divisore dei numeri 36 e 24. Come mostra la figura sotto, scomponiamo singolarmente i due numeri e ricaviamo 24 = 2 x 2 x 2 x 3 mentre 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Possiamo anche semplificarli sotto forma di potenze:

  • 36 = 22 x 32
  • 24 = 23 x 3

M.C.D (36; 24) = 22 x 3 = 4 x 3 = 12

Abbiamo separato 22, perché è la potenza massima che hanno in comune, e il numero 3 per lo stesso motivo.

Vedi anche: La scomposizione in fattori primi

Massimo Comune Divisore (MCD), schema ed esempio.

Riassumendo, per trovare il Massimo Comune Divisore tra due o più numeri dobbiamo:

  1. Scomporre i numeri in fattori primi;
  2. Trovare i fattori che hanno in comune;
  3. Trovare il MCD moltiplicando i fattori ricavati

Il Massimo Comune Divisore e l’algoritmo di Euclide

C’è un altro modo per trovare il Massimo Comune Divisore e si basa su un algoritmo di Euclide. Vediamo il suo teorema e applichiamolo ai numeri usati sopra.

Secondo Euclide, se due numeri naturali, con il primo maggiore del secondo, sono divisibili per uno stesso numero questo vale anche per la loro differenza. In termini algebrici se a > b e a e b sono entrambi divisibili per c, allora a-b è divisibile per c.

Abbiamo visto che 36 e 24 sono divisibile per 12. Dimostriamolo adesso usando l’algoritmo di Euclide.

36 – 24 = 12

In realtà, l’operazione non è ancora finita, almeno in questo caso. Traducendo sempre quello che abbiamo detto in termini algebrici: MCD (a; b) = MCD (a-b; b) con a > b. Ma che dire se a – b = b? In questo caso avremo una situazione singolare:

MCD (a; b) = MCD (a-b; b) = MCD (b; b)

Insomma, il Massimo Comune Divisore dei numeri finali coincide con quello dei numeri iniziali. Torniamo ai numeri 36 e 24.

36 – 24 = 12; 12 è minore di 24

24 – 12 = 12; 12 è uguale a 12

La differenza è uguale al sottraendo ed è anche il Massimo Comune Divisore dei numeri 36 e 24. Il numero 12 del primo risultato è semplicemente una coincidenza, con altri numeri non risulterebbe così.

Un’altra precisazione: se a – b è maggiore di b, la differenza prenderà il posto di b. Se la differenza è minore di b, come nel caso sopra, questi prenderà il posto di b mentre il sottraendo prenderà il posto del minuendo, quindi b andrà al posto di a.

Vedi anche: La sottrazione

A cosa serve il MCD

Il MCD serve ad esempio per semplificare una frazione.

Immaginiamo che i due numeri scomposti prima siano due numeri di una frazione. Possiamo semplificarla dividendo sia il numeratore che il denominatore per 12, il numero trovato prima:

Semplificare una frazione con il Massimo Comune Divisore (MCD)