Gli angoli si possono misurare in diversi modi. Quali sono le loro unità di misura? E’ possibile la conversione tra una unità di misura all’altra?
Vedremo per prima cosa come si misurano gli angoli.
Sappiamo che un modo per conoscere l’ampiezza di un angolo è quella di usare il goniometro. Basta sovrapporre il centro dello strumento al vertice dell’angolo e inclinare la base secondo uno dei lati. Il secondo lato toccherà il valore della misura in gradi.
Il sistema di misura degli angoli
Dato che quando un angolo compie un giro completo si dice che misura 360° (o gradi), il grado si può definire come la 360-esima parte di un angolo giro; a volte viene definito anche come la 90-esima parte dell’angolo retto.
I radianti
In goniometria e in trigonometria la cosa è diversa. In questo caso l’angolo è considerato l’arco di una circonferenza creato quando la prima semiretta viene fatta ruotare sulla seconda.
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Dalla geometria sappiamo che il rapporto tra la lunghezza di un arco qualsiasi e del suo raggio corrispondente è sempre costante ed equivale alla misura dell’angolo.
Pertanto nel calcolare la misura di un angolo si fa riferimento ad un unico cerchio con il centro O, il raggio R, e l’arco AB (A e B sarebbero gli estremi dell’angolo). L’angolo AOB (αrad)sarebbe uguale al rapporto tra la lunghezza dell’arco AB (l) e il raggio (R)
In questo caso, l’unità di misura viene chiamata radiante, e si può dare questa definizione:
Il radiante, in matematica, è definito come l’angolo al centro di un circonferenza, che ha la lunghezza dell’arco uguale al suo raggio.
Infatti se l = R allora αrad = 1
Nel caso di un angolo giro, l’arco sarebbe uguale all’intera circonferenza. Sapendo questo, possiamo facilmente ricavare la sua misura.
Dato che la formula della circonferenza è uguale a 2πR, è facile calcolare la misura dell’angolo giro in radianti. E dato che l’angolo piatto è la metà dell’angolo giro, misurerà π.
E l’angolo retto è la metà dell’angolo piatto, pertanto sarà uguale alla metà di π.
I sottomultipli del radiante sono i decimi, i centesimi, i millesimi ecc. proprio come quando si scrive un numero decimale. L’unica differenza è che viene aggiunto come apice la parola rad, per indicare la misura.
Quindi, l’angolo piatto sarebbe uguale a π e in numeri si scriverebbe come 3rad,142
Il sistema sessagesimale e quello decimale
Il sistema sessagesimale (o sistema di numerazione a base 60) viene usato sia per misurare il tempo (1 ora, 60 minuti, 60 secondi) che gli angoli. Come abbiamo già scritto, il grado viene definito come la 360-esima parte di un angolo giro.
I sottomultipli del grado sono il primo (che è la 60-esima parte del grado, il simbolo è ‘) e il secondo (la 60-esima parte del primo, il suo simbolo è ”).
Perciò 1°= 60′ e 1′ = 60”
La misura di un angolo viene indicato così: α = 26°35’17’’
Quando invece il grado di un angolo è scritto in sessagesimale ma i sottomultipli vengono scritti in decimi, centesimi, millesimi, ecc., si parla di sistema decimale.
Per convertire la misura dell’angolo 26°35’17’’ dal sistema sessagesimale a quello sessadecimale si divideranno i secondi per 60 (17/60 = 0,283333). Abbiamo ottenuto così il valore decimale dei primi. Dividiamo tutto per 60 (35, 283/60 = 0,58805555) e avremo il valore decimale dell’angolo.
Quando l’ultima cifra è infinita viene indicata con la sopra lineatura.
Il sistema centesimale
Il sistema centesimale è quello più semplice nel fare i calcoli perché si usa il grado centesimale e i sottomultipli sono espressi in centesimi
Il grado centesimale è definito come la centesima parte (1/100) dell’angolo retto. I suoi sottomultipli sono il primo (1/100 di grado; simbolo −) e il secondo (1/100 del primo; simbolo =).
Un esempio α = 80°51−27= oppure α = 80c,5127
Come convertire le misure degli angoli
Per la conversione della misura degli angoli basta avvalersi di semplici proporzioni.
Sappiamo che l’angolo piatto è già stabilito: in radianti è π, in gradi sessagesimali è uguale a 180° e in centesimali è uguale a 200c.
Questo significa che il rapporto tra la misura di un angolo e quelle di un angolo piatto, espressi nello stesso sistema è sempre lo stesso.
αrad:π = α°:180 = αc:200
Oppure, in frazioni:
Qui trovi maggiori informazioni sulle proporzioni: cosa sono e come si risolvono.
Conversione da radianti a sessagesimali e viceversa
Tenendo conto di questa proporzione:
Possiamo convertire i gradi sessagesimali in radianti moltiplicandoli per π/180, dopo averli scritti in decimali.
Viceversa, per convertire i radianti in sessagesimali bisogna moltiplicarli per 180/π.
Come convertire i sessagesimali a centesimali e viceversa
Allo stesso modo possiamo ricavare la formula per la conversione tra angoli in misura sessagesimale e in centesimale guardando la proporzione sopra.
Per convertire i gradi centesimali in sessadecimali basta moltiplicarli per 9/10 (semplificazione di 180/200).
Viceversa, per convertire i gradi sessagesimali in centesimali si moltiplicheranno per 10/9, dopo averli convertiti in decimali.
Conversione tra radianti e centesimali
Infine, vediamo come convertire i radianti in centesimali e viceversa. Ormai il procedimento è chiaro.
Per convertire la misura degli angoli in radianti a centesimali si dovranno moltiplicare per 200/π. I centesimali invece verranno moltiplicati per π/200 per essere convertiti in radianti.
