I numeri razionali, o frazioni, sono un di numeri definiti da una classe di equivalenza su coppie di numeri interi. Date due coppie di numeri interi di cui il secondo non è nullo, essi rappresentano lo stesso numero razionale se e solo se il rapporto della prima coppia è uguale a quello della seconda. Di conseguenza il prodotto del primo numero della prima coppia con il secondo della seconda è uguale al prodotto del secondo numero della prima coppia con il primo della seconda.
L’insieme dei numeri razionali è un campo perché sono definiti in esso le operazioni di addizione e moltiplicazione, esiste l’opposto dell’addizione e l’inverso della moltiplicazione, esiste l’elemento neutro in entrambi e l’addizione e la moltiplicazione godono delle proprietà che noi conosciamo.
\[ \mathbb{Q} = \{ [(m,n)] : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} \} \] \[ (m,n) \sim (m’,n’) \quad \text{se} \quad m \cdot n’ = m’ \cdot n \]Possiamo definire un’operazione di moltiplicazione esterna ai numeri razionali, cioè possiamo moltiplicare gli elementi di questo campo con un numero naturale sommando la frazione con se stessa tante volte il numero. Possiamo definire anche l’operazione di potenza avendo come esponente un numero naturale maggiore o uguale a 2 come il prodotto di una frazione con se stessa tante volte il numero naturale.
\[ n \in \mathbb{N}, q \in \mathbb{Q} \quad n \cdot q = \underbrace{q + q + … + q}_{n \text{ volte}} \] \[ n \in \mathbb{N}, q \in \mathbb{Q} \quad q^n = \underbrace{q \cdot q \cdot … \cdot q}_{n \text{ volte}} \]I numeri razionali sono un campo ordinato e vale la proprietà di Archimede. Inoltre, poiché tra due frazioni ce ne sono infinite, l’insieme dei numeri razionali è denso in se stesso.
L’insieme dei razionali non è completo
I numeri razionali sono stati importanti fin dall’antichità, venivano già usati nell’antico Egitto, in Babilonia e in Grecia. Anticamente si pensava che le frazioni fossero la base di tutto ciò che esiste nell’universo, tuttavia in seguito si scoprì che non bastavano ad esprimere ogni tipo di grandezza fisica. Ad esempio non era possibile misurare la diagonale di un quadrato di lato 1.
Vediamo infatti questa proprietà: non esiste un numero razionale il cui quadrato è uguale a 2. Se ci fosse allora esisterebbe una coppia di interi positivi, il cui rapporto è 2. Dato che esistono infinite frazioni la cui classe di equivalenza potrebbe essere uguale a 2 prendiamo due numeri primi e quindi non divisibili per nessun numero diverso da 1 e se stessi. Applicando le normali regole per risolvere le equazioni, risulta che il quadrato del numeratore è uguale al doppio del quadrato del denominatore.
\[ \exists m,n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} : \left( \frac{m}{n} \right)^2 = 2 \] \[ m^2 = 2n^2 \]Quindi il numeratore sarebbe un numero pari e lo possiamo esprimere come il doppio di un altro numero. Ma questo implica che anche il denominatore sia pari e quindi i due numeri non sono primi e abbiamo una contraddizione. In pratica, non esiste nessun numero razionale il cui quadrato fa 2.
\[ (2k)^2 = 2n^2 \] \[ 4k^2 = 2n^2 \] \[ 2k^2 = n^2 \]Lo stesso risultato lo otteniamo anche per il numero 3, sia il numeratore che il denominatore risultano multipli di 3 ma noi ancora poniamo per ipotesi che siano primi tra loro. E così via con gli altri numeri primi. Invece, applicandolo con i multipli di 2, 3 e così via l’equazione risulta verificata.