La regola di Cartesio è un metodo per determinare il segno delle soluzioni di equazioni di secondo grado, quando il discriminante è maggiore di 0, altrimenti l’equazione è impossibile.
Dicendolo in modo semplice, quando tra i termini dell’equazione c’è una variazione di segno, contiamo una soluzione positiva. Quando troviamo una permanenza, cioè i segni dei due termini sono uguali, c’è una soluzione negativa. Se tutti i termini hanno lo stesso segno (es. – 2x2 – 7x – 3) tutte le soluzioni sono negative mentre se il termine di secondo grado e quello noto hanno lo stesso segno ma segno diverso dal termine di primo grado (es. 3x2 – 8x + 4) abbiamo due soluzioni positive.
Se abbiamo una soluzione positiva e una negativa, possiamo determinare quale tra le due ha valore assoluto maggiore in base alla variazione. Se questa precede la permanenza allora la soluzione positiva ha valore assoluto maggiore (es. 3x2 – 7x – 4), altrimenti ha valore assoluto minore (es. – 3x2 – 7x + 4).
Dimostrazione della regola di Cartesio
La regola di Cartesio si base sulla formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Infatti, al variare del segno di uno dei termini della formula varia anche quello del risultato.
Possiamo già notare dalla formula che se il discriminante, il risultato dentro la radice, risulta negativo la radice quadrata è impossibile da risolvere. Perciò il segno della soluzione dipende interamente dal segno dei termini incogniti.
Se tutti i termini hanno lo stesso segno, il segno del risultato è sempre negativo. Infatti il segno del numeratore o del denominatore della formula risolutiva sarà negativo mentre l’altro positivo.
Nel caso in cui il termine di secondo grado e quello di primo grado hanno segno diverso, la soluzione positiva ha valore assoluto maggiore mentre se entrambi hanno lo stesso segno e diverso da quello del termine noto è la soluzione negativa ad avere valore assoluto maggiore. Questo perché il numeratore ha due soluzioni in base alla somma o alla differenza con il discriminante e sarà il segno del denominatore a fare la differenza.
