La partizione di un insieme è un insieme di tutti i suoi sottoinsiemi la cui unione forma l’insieme stesso. Questo implica che ogni sottoinsieme non ha elementi in comune con nessun altro. E’ possibile creare diverse partizioni a seconda di quali elementi inseriamo su ciascun sottoinsieme.
Ad esempio, se l’insieme A = {1,2,3,4,5,6}, possiamo avere una partizione formata dagli insiemi P1 = { { 1,2,3 }, { 4,5,6 } } oppure la partizione P2 = { { 1,2 }, { 3,4 }, { 5,6 } }. Ciascuna partizione induce sull’insieme una relazione di equivalenza diverso, con classi di equivalenza distinti.
Torniamo all’esempio precedente. Gli elementi di ciascun sottoinsieme possono essere in relazione soltanto con altri elementi dello stesso sottoinsieme. Così se applichiamo la partizione P1, otteniamo la relazione di equivalenza:
R = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2), (4,4), (5,5), (6,6), (4,5), (5,4), (4,6), (6,4), (5,6), (6,5) }
Le classi di equivalenza, indicato con il simbolo [a], ∀a ∈ A, sono:
[1] = { 1,2,3 }, [2] = { 1,2,3 }, [3] = { 1,2,3 } => [1] = [2] = [3]
[4] = { 4,5,6 }, [5] = { 4,5,6 }, [6] = { 4,5,6 } => [4] = [5] = [6]
Cosa sono le classi di equivalenza? Per ogni elemento di un insieme, la classe di equivalenza è il sottoinsieme che contiene l’elemento stesso e tutti gli elementi che sono in relazione con lui tramite la condizione indicata nella definizione. In simboli: [a] = { x ∈ A : (a,x) ∈ R }, dove R sta per Relazione.
Per maggiori informazioni leggi la spiegazione su Relazioni tra insiemi. Prova anche a descrivere la relazione di equivalenza indotta su A dalla partizione P2.