Le relazioni tra due insiemi sono un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano basato ciascuna su una specifica condizione. Consiste perciò nel prendere un elemento da ciascun insieme e associarli secondo una certa proposizione.
Il concetto di insieme è fondamentale in matematica. I numeri naturali, i numeri relativi, i numeri razionali e irrazionali, i numeri reale e i numeri complessi sono tutti degli insiemi. Presi due insiemi uguali o diversi, oppure dei sottoinsiemi di questi insiemi, è possibile prendere coppie di numeri che soddisfano una condizione.
Ad esempio possiamo considerare due volte lo stesso insieme dei numeri naturali N e porre un limite n, per avere un insieme finito. Tutte le coppie di numeri (a,b) dove a e b appartengono ad N (quindi le coppie (1,1),(1,2),(2,1)…(1,n),(n,1)) formano il prodotto cartesiano N x N. Ma se decidessimo di prendere soltanto le coppia di numeri la cui differenza fa 1 allora avremo un sottoinsieme di questo prodotto cartesiano:
R = {(a ∈ N,b ∈ N) : a-b = 1 } = { (100, 99), (99,98) , (98,97),…..,(1,0)}
Quindi l’insieme R è un sottoinsieme del prodotto cartesiano: R ⊆ A x B. La terna (A, B, R) viene chiamata relazione tra A e B. Quindi una relazione tra due insiemi è la terna ordinata che comprende i due insiemi e l’insieme delle loro coppie ordinate che soddisfano una condizione.
Il primo insieme, cioè l’insieme i cui elementi corrispondo al primo elemento della coppia ordinata del prodotto cartesiano viene chiamato dominio della relazione, il secondo insieme codominio mentre il loro prodotto cartesiano secondo una fissata condizione viene chiamato grafico della relazione. Questo perché ad ogni coppia ordinata corrisponde un punto del piano cartesiano la cui unione con tutti gli altri punti ci permette di conoscere l’andamento della relazione. Ovviamente ciò vale se ogni elemento del primo insieme corrisponde un unico elemento del secondo, ma anche in altri contesti è possibile rappresentare la relazione sottoforma di qualche tipo di grafico.
Proprietà delle relazioni
Una relazione potrebbe godere di una o più delle seguenti proprietà.
- Se ad ogni elemento del primo insieme esiste lo stesso elemento nel secondo insieme, allora esiste una coppia ordinata che ha lo stesso valore per ogni elemento del primo insieme. Allora, la relazione gode delle proprietà riflessiva. Es: ∀a ∈ A, (a,a) ∈ R.
- Se per ogni coppia ordinata esiste anche il caso in cui il primo elemento uno stesso valore del secondo insieme e il secondo elemento ha uno stesso valore del primo insieme e questo succede per tutti i valori dei due insiemi, la relazione gode della proprietà simmetrica. Es: (a,b) ∈ R => (b,a) ∈ R.
- Se il secondo elemento di una coppia ordinata è in relazione con un terzo elemento in un’altra coppia ordinata e di conseguenza il primo elemento della prima coppia è in relazione con il terzo elemento in una successiva coppia allora si dice che la relazione gode della proprietà transitiva. Es: (a,b) ∈ R, (b,c) ∈ R => (a,c) ∈ R.
- Se una relazione gode di tutte e tre le proprietà indicate, viene chiamata anche relazione di equivalenza.
Vediamo come esempi alcuni insiemi tratti dalla geometria. Consideriamo l’insieme formato da tutte le rette del piano. Possiamo definire la relazione formata da tutte le rette parallele e la relazione formata da tutte le rette perpendicolari.
Nel primo caso (R = {(r,s) ∈ A x A : r // s}), possiamo notare che una retta è sempre parallela con se stessa (proprietà riflessiva), se è parallela con una seconda retta, anche la seconda è parallela con la prima (proprietà simmetrica) e che se la seconda retta è parallela con una terza retta, anche la prima è parallela con la terza (proprietà transitiva). Quindi questa relazione è di equivalenza.
Nel secondo caso (R = {(r,s) ∈ A x A : r ⟂ s} possiamo notare che valgono ancora le proprietà riflessiva e simmetrica. Però non vale quella transitiva; infatti se una retta è perpendicolare ad un’altra e quest’ultima è perpendicolare ad una terza retta, la prima retta non è perpendicolare alla terza ma parallela. Basta fare un disegno per accorgersene.
Consideriamo infine il caso in cui prendiamo un elemento da una relazione tra due insiemi uguali, dello stesso tipo e consideriamo l’insieme di tutte le coppie ordinate appartenenti alla relazione dove l’elemento preso appartiene sempre al primo elemento della coppia. Questo insieme viene chiamato classe di equivalenza e si definisce: [a] = { x ∈ A : (a,x) ∈ R}.