La retta passante per un punto

retta passante per un punto, definizione ed equazione

In questo articolo viene spiegato cosa si intende per retta passante per un punto e come si ricava la sua equazione e le sue coordinate nel piano cartesiano.

Il piano cartesiano è un sistema di riferimento utilizzato per conoscere la posizione e la distanza dei punti al suo interno. È formato da due assi perpendicolari tra loro, uno con direzione orizzontale mentre l’altro con direzione verticale. In ciascun asse viene indicato un segmento di riferimento usato come unità di misura. In questo modo, si possono stabilire delle coordinate per i punti del piano e calcolare esattamente la distanza tra di loro. 

L’asse orizzontale viene chiamato asse delle ascisse e viene anche indicato con la lettera X mentre quello verticale viene chiamato asse delle ordinate e indicato con la lettera Y. Ogni punto ha quindi due coordinate: la coordinata x, che indica la sua distanza dall’asse delle ordinate e in quale punto si trova la sua proiezione rispetto la linea dei numeri sopra l’asse X, e la coordinata y, che indica la sua distanza dall’asse delle ascisse e in quale punto si trova la sua proiezione nell’asse Y.

Dato un punto P del piano bisogna indicare le sue coordinate xp e yp. Un altro modo per indicare le coordinate di un punto è quello di scrivere il suo nome e inserire le sue coordinate tra parentesi: P (xp ; yp).  

Il piano cartesiano: definizione e dimostrazione
Il punto di incontro degli assi viene chiamato origine

È possibile determinare le coordinate di tutti i punti di una retta che passa per l’origine del piano cartesiano conoscendo almeno le coordinate x e y di due punti di tale retta. In una retta, il rapporto tra le coordinate cartesiane è sempre costante, non varia, e indica la sua pendenza. Questo rapporto tra l’ordinata e l’ascissa di un punto, indicato con la lettera m, viene chiamato coefficiente angolare. Partendo da questa formula, si ricava l’equazione della retta passante per l’origine, cioè quella che attraversa il punto di incontro degli assi cartesiani. 

Calcolo coefficiente angolare di una retta

Trovare l’equazione di una retta passante per un punto del piano cartesiano

Ovviamente, sul piano cartesiano passano infinite rette e la maggior parte non attraversano l’origine. Per calcolare l’ordinata esatta dei punti di una di queste rette si usa come riferimento la rispettiva parallela passante per l’origine. Perciò oltre a trovare il prodotto tra il coefficiente angolare e l’ascissa di tale punto, il risultato ottenuto viene sommato alla distanza verticale che ci deve essere tra il punto della retta interessata e il punto della parallela all’origine. Questo nuovo elemento viene indicato con la lettera q e viene chiamato ordinata all’origine. Scriviamo così l’equazione generale della retta che passa in un piano cartesiano: 

y = m ∙ x + q 

Retta parallela all'origine

Possiamo ricavare il coefficiente angolare di una retta che non passa per l’origine dal rapporto tra le differenze delle coordinate di due punti: questo metodo ci permette di determinare la pendenza di una retta specifica ed è molto più accurato del semplice rapporto tra le coordinate di un solo punto:

Coefficiente angolare dati due punti

Da tale formula, possiamo ricavare l’equazione di una retta che passa per un punto specifico P, per ottenere il valore delle coordinate degli altri suoi punti.

Equazione della retta passante per un punto
Retta parallela all'origine

Esempio

Immaginiamo di avere una retta di equazione y = 3x + 1, e vogliamo ricavare l’equazione di una sua parallela che passa per P (6; 1).  

esercizio equazione retta parallela per un punto

Intanto sappiamo che m = 3 e le coordinate di P sono: x = 6 e y = 1. Applichiamo la formula trovata prima e avremo l’equazione.

Esempio di equazione di una retta parallela

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