La traccia di una matrice è la somma degli elementi della diagonale principale di una qualsiasi matrice quadrata, cioè una matrice che ha lo stesso numero di righe e di colonne.
Una matrice è un raggruppamento di numeri per righe e colonne. E’ possibile sommare matrici che hanno rispettivamente lo stesso numero di righe e di colonne oppure moltiplicare due matrici quando il numero di colonne della prima coincide con il numero di righe della seconda. Una matrice quadrata viene chiamata anche diagonale nel caso in cui tutti gli elementi eccetto quelli la cui posizione ha lo stesso indice per le righe e per le colonne è 0.
Matrice generica: \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}Matrice diagonale: \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}Dato che una matrice quadrata ha lo stesso numero di righe e di colonne è sempre possibile risalire ad un elemento la cui posizione ha lo stesso indice per entrambi i tipi di vettore. Così una matrice K3,3 ha un elemento alla posizione ent11, ent22 ed ent33. La somme di questi elementi è la traccia della matrice indicata. La formula della traccia di una matrice si scrive così:
\[ A \in \mathbb{K}^{n \times n} \] \[ \text{Tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} \text{ent}_{ii}(A) \]Ecco un esempio:
\[ B = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 3 \\ 4 & \color{red}{5} & 6 \\ 7 & 8 & \color{red}{9} \end{pmatrix} \] \[ \text{Tr}(B) = 1 + 5 + 9 = 15 \]Proprietà della traccia di una matrice
Una matrice può anche essere moltiplicata con uno scalare, cioè un numero appartenente al campo delle sue righe e colonne. Ad esempio, se usiamo i numeri reali dentro la matrice allora possiamo moltiplicarla con uno qualsiasi dei numeri reali. Il prodotto scalare di una matrice è uguale al prodotto dello scalare per ogni elemento della matrice:
\[ kM = k \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\ ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \end{pmatrix} \]La somma tra due prodotti scalari su due matrici che hanno rispettivamente lo stesso numero di righe e di colonne viene chiamata combinazione lineare e si indica così:
\[ A,B \in \mathbb{K}^{m \times n} \text{ and } \alpha, \beta \in \mathbb{K} \] \[ C = \alpha A + \beta B \]Ciascun prodotto scalare forma una nuova matrice e la somma di due matrici è valida soltanto se le due matrici hanno rispettivamente lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne. La loro somma forma una nuova matrice, pertanto ogni elemento della matrice si può ottenere dalla somma dei prodotti scalari sugli elementi della matrice nella medesima posizione.
\[ \text{ent}_{ij}(C) = \alpha \cdot \text{ent}_{ij}(A) + \beta \cdot \text{ent}_{ij}(B) \]Pertanto anche la traccia di una matrice quadrata ha questa proprietà. Di conseguenza la traccia ottenuta dalla combinazione lineare di due matrici quadrate è ottenuta anche dalla somma del prodotto del primo scalare con la traccia della prima matrice e del prodotto del secondo scalare con la traccia della seconda matrice.
\[ A,B \in \mathbb{K}^{m \times n} \text{ and } \alpha, \beta \in \mathbb{K} \] \[ \text{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \text{Tr}(A) + \beta \text{Tr}(B) \]Inoltre, la traccia del prodotto tra due matrici è la stessa anche se cambiamo di posizione le due matrici.
\[ A,B \in \mathbb{K}^{n \times n} \] \[ \text{Tr}(AB) = \text{Tr}(BA) \]